Disuguaglianza probabilità

[Gost91]

Salve a tutti!

Nello studiare la teoria assiomatica della probabilità, mi sono imbattuto nella seguente espressione

\[\tag{1} \mathbb{P}(A \cup B) \ge \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B) \]
con \(A\) e \(B\) eventi appartenenti allo stesso spazio delle eventualità \(\Omega\).

Dal punto di vista algebrico non ho niente da obbiettare, dato che in generale

\[\mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B) \]

Ma dal punto di vista logico, perchè la \((1)\) è ragionevole da supporre vera?


Tanto per chiarire la mia domanda, faccio un esempio semplice.
Consideriamo l'espressione

\[\tag{2} \mathbb{P}(A \cup B) \ge \mathbb{P}(A\cap B) \]

diciamo che la proposizione \(p\) identifica l'evento \(A\) e la proposizione \(q\) identifica l'evento \(B\).
L'espressione \((2)\) mi pare ragionevole in quanto per verificare l'evento \(A \cup B\) si deve verificare \(p\) oppure (o, nel caso, anche contemporaneamente) \(q\) mentre per verificare l'evento \(A \cap B\) si deve verificare \(p\) e necessariamente contemporaneamente \(q\).
In altri termini, la proposizione che identifica \(A \cup B\) è più stringente di quella che identifica \(A \cap B\), dunque, ripetendomi, la \((2)\) mi pare ragionevole.


Probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua, ma fatto sta che non riesco proprio a rispondermi...
Ringrazio anticipatamente chiunque mi dia una mano con la questione.

[Intermat]

"Gost91":In altri termini, la proposizione che identifica \(A \cup B\) è più stringente di quella che identifica \(A \cap B\), dunque, ripetendomi, la \((2)\) mi pare ragionevole.

In che senso "è più stringente"?
Se rappresenti gli insiemi degli eventi $A$ e $B$ e la loro intersezione vedi che $P(AuuB)>=P(AnnB)$
Sinceramente non ho capito quale è la tua perplessità...e neanche tanto cosa c'entri la seconda parte del discorso con la prima...

[Gost91]

"Intermat":Sinceramente non ho capito quale è la tua perplessità...

Evidentemente mi sono espresso male.
Provo a riformularla sotto tutto un altro punto di vista.

Il testo che sto seguendo afferma:

"Sia \(\Omega\) lo spazio delle eventualità e sia \(\mathcal{E}\subset \mathcal{P}(\Omega)\) una \(\sigma\)-algebra. Conveniamo di misurare la probabilità di un evente \(E \in \mathcal{E}\) con un numero reale \(\mathbb{P}(E)\) compreso tra 0 e 1, assegnando all'evento impossibile probabilità 0 e l'evento certo probabilità 1. La formulazione soggettiva suggerisce che la funzione \(\mathbb{P}:\mathcal{E}\mapsto \mathbb{R}\) abbia le seguenti proprietà

(i) se \(A \subset B\), allora \(\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B)\)
(ii) \(\mathbb{P}(A^{\text{c}})=1-\mathbb{P}(A)\)
(iii) se \(A\), \(B\) sono eventi incompatibili, i.e. \(A \cap B = \varnothing\), allora \(\mathbb{P}(A \cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)\)."

Quello che non capisco è come può l'interpretazione soggettiva di probabilità suggerire la proprietà (iii).

Dato che nell'interpretazione soggettiva entra in gioco il buon senso della persona, credo che le 3 proprietà si basino su dei principi "intuitivi" basati sulla logica dei predicati matematici.
Sono completamente fuori strada?


In definitiva la domanda è la seguente: come può l'interpretazione soggettiva di probabilità suggerire la proprietà (iii)?

Ad ogni modo, grazie per la risposta e l'interessamento.

[Gost91]

Credo di aver capito, la spiegazione proposta su wikipedia è molto chiara.
Grazie Sergio.