Disuguaglianza di Rao-Cramer

[l_ale13]

Buongiorno,
a lezione abbiamo affrontato la disugualìglianza di Rao - Cramer per trovare il limite inferiore di uno stimatore corretto T generico.
Nella dimostrazione non mi è chiaro un passaggio matematico:
abbiamo definito $ i(vartheta) $ $ = E [(d/(dvartheta )ln f(x_1,...,x_n;vartheta ))^2] $
non mi sono chiari questi passaggi:
$ E(d/(dvartheta ) lnprod_(i = 1)^(n)f(x_i;vartheta ))^2 = E( sum_{i=1}^n d/(dvartheta) ln f(x_i;vartheta ))^2 = E[sum_{i=1}^n d/(dvartheta ) ln f(x_i;vartheta )]^2 +sum_(i != j) E(d/(dvartheta ) ln f(x_i;vartheta )*d/(dvartheta )f(x_j;vartheta )) $

la produttoria del primo passaggio riesco a capirla siccome $x_1 , ... , x_n$ sono i.i.d. , non mi è chiaro il passaggio da produttoria a sommatoria (svolgendo i calcoli vedo che il passaggio è corretto però non ho mai incontrato questa regola anche se credo derivi da una generalizzazione della derivata del prodotto di due funzioni) e l'altro passaggio che non mi è chiaro è l'ultimo dove si aggiunge la sommatoria con $i!=j$ , penso abbia a che fare con la covarianza ma non ne sono certo.
Grazie dell'aiuto

[Euclidino]

Mi sembra che :
$E( sum_{i=1}^n d/(dvartheta) ln f(x_i;vartheta ))^2 = sum_{i=1}^n E[d/(dvartheta ) ln f(x_i;vartheta )]^2 +sum_(i != j) E(d/(dvartheta ) ln f(x_i;vartheta )*d/(dvartheta )f(x_j;vartheta )) $

È solo lo sviluppo di $(\sum_{i=1}^n a_i)^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 + \sum_(i != j) a_i a_j$