Disuguaglianza di Markov

[Claudia87an]

La disuguaglianza di Markov la conosciamo tutti:
$P(|X|\geq\alpha)\leq\frac{\mathbb{E}(X^2)}{\alpha^2}$
ma questa disuguaglianza dovrebbe valere anche per probabilità e medie condizionate a unevento, cioè se $A$ è un evento con probabilità non nulla allora $P(|X|\geq\alpha|A)\leq\frac{\mathbb{E}(X^2|A)}{\alpha^2}$
Qualcuno sa se questo fatto è vero e su quale libro si trova la dimostrazione?

[fu^2]

cosa intendi con la scrittura $E(X^2|A)$?

[Claudia87an]

"fu^2":cosa intendi con la scrittura $E(X^2|A)$?

Intendo $\sum_{n}n^2P(X=n|A)$

[fu^2]

ok dunque $\sum_n n^2 P(|X|=n| A)$ (se $X$ assume valori negati quello che hai scritto sopra è mal definito) la puoi vedere scritta come $\frac{E(X^2 1_A)}{P(A)}$ (usando la definizione di speranza condizionata nella prima formula).

Dunque ti rimane da verificare, sempre scrivendo la definizione di prob. condizionata per esteso che $P(|X|\geq a, A)\leq 1/aE(X^2 1_A)$. Concordi?

[Claudia87an]

Si, concordo. Ma quell'ultima disuguaglianza con $a^2$ invece di $a$ al denominatore si può dimostrare?

[fu^2]

si scusa volevo scrivere a^2, errore di battitura.

[Claudia87an]

Ma è vero che vale $P(|X|\geq a, A)\leq\frac{1}{a^2}\mathbb{E}(X^2 1_A)$?

[fu^2]

questo lo lascio decidere a te
prova a rifare la dimostrazione che hai fatto della disuguaglianza di Markov nel caso normale in questo caso... se hai qualche dubbio posta i calcoli che li vediamo assieme!