Disuguaglianza con probabilità

[cooper1]

Ho difficoltà nel giustificare queste disuguaglianze.
Io so che se $x_t(x)$ lascia $D$ maniera regolare, allora $\tau^{\epsilon} \to T(x)$ in probabilità quando $\epsilon \to 0$. le condizioni $T(x) \le T_0< \infty$ e $\max_{T(x)\le t \le T(x)+\delta} \rho(x_t(x),D \cup \partial D) \ge c$ implicano che per ogni $\delta >0$ esiste $\epsilon_0>0$ tale che per $\epsilon< \epsilon_0$ si ha
\[
\mathbb{P}(|\tau^{\epsilon}-T(x)|>\delta)<\delta
\]
per ogni $x \in D$. da questo segue
\[
\sup_{x \in D} \mathbb{P}(\tau^{\epsilon}>2T_0)<\delta
\]
prima di far vedere cosa ho pensato io do la definizione di alcune cose:
1) $x_t(x)$ lascia $D$ maniera regolare se $T(x)= \min \{ t : x_t(x) ∉ D \} < \infty$ e $x_{T(X)+\delta}(x) \not \in D \cup \partial D$ per $\delta >0$ piccolo abbastanza, dove $\dot{x}_t=b(x)$.
2) $\tau^{\epsilon} = \min \{t: X_{t}^{\epsilon} ∉ D \}$ dove il processo risolve la seguente SDE: $dX_{t}^{\epsilon}=b(X_{t}^{\epsilon})dt+\epsilon \sigma(X_{t}^{\epsilon})dW_t$ con $W_t$ processo di Wiener.

per la prima sinceramente non ho idee. per la seconda ho pensato che
\begin{equation*}
\begin{split}
& \mathbb{P}(|\tau^{\epsilon}-T(x)|>\delta)<\delta \\
&= \mathbb{P}(\{\tau^{\epsilon} < T(x)-\delta\} \cup \{ \tau^{\epsilon} > T(x)+\delta\}) \\
& \le \mathbb{P}(\tau^{\epsilon} < T(x)-\delta) + \mathbb{P}( \tau^{\epsilon} > T(x)+\delta)
\end{split}
\end{equation*}
ora però non so più come andare avanti.
Grazie a tutti

[cooper1]

Ho provato così:
per la prima disuguaglianza, non mi ero accorto ma mi sembra proprio essere la definizione di convergenza in probabilità.
per la seconda invece, notando che mi sembra di avere l'inclusione seguente $\{ \tau^{\epsilon}-T(x) > 2T_0-T(x) \} \subset \{ \tau^{\epsilon}-T(x) > T_0 \}$ posso scrivere che
\begin{equation*}
\begin{split}
\mathbb{P}(\tau^{\epsilon}>2T_0) &= \mathbb{P}(\tau^{\epsilon}-T(x)>2T_0-T(x)) \\
& \le \mathbb{P}(\tau^{\epsilon}-T(X)>T_0) \\
&= \mathbb{P}(|\tau^{\epsilon}-T(x)|>T_0) < \delta
\end{split}
\end{equation*}
chiamando per esempio $\delta = T_0 > 0$. secondo voi può andare?