Disuguaglianza Bonferroni

[pinobambam]

Qualcuno potrebbe aiutarmi a dimostrare per induzione (o anche diversamente) la generalizzazione della disuguaglianza di Bonferroni?

$P(AnnB) >= P(A) + P(B) - 1$

generalizzando

$P(A_1nnA_2nn ... nnA_n) >= P(A_1) + ... + P(A_n) - (n - 1)$

[dacanalr]

Ciao, credo si possa fare per induzione.

BASE : $P[A_1nnA_2] = P[A_1] + P[A_2] - P[A_1uuA_2] >= P[A_1] + P[A_2] - 1$ e cosi' abbiamo il caso per $n=2$

INDUZIONE :

siano $A = A_1 nn A_2 nn ... nn A_n$ e $B = A_(n+1)$ applicando la diseguaglianza di bonferroni ottieni

$P[AnnB] >= P[A] + P - 1 >= P[A_1] + ... + P[A_n] - (n) + P[A_(n+1)] - 1 = P[A_1] + P[A_2] + ... P[A_(n+1)] - (n+1)$

[pinobambam]

"dacanalr":

$P[AnnB] >= P[A] + P - 1 >= P[A_1] + ... + P[A_n] - (n) + P[A_(n+1)] - 1 = P[A_1] + P[A_2] + ... P[A_(n+1)] - (n+1)$

Il ragionamento sembra corretto, però non dovrebbe essere

$P[AnnB] >= P[A] + P - 1 >= P[A_1] + ... + P[A_n] - (n-1) + P[A_(n+1)] - 1 = P[A_1] + P[A_2] + ... P[A_(n+1)] - n = P[A_1] + P[A_2] + ... P[A_(n+1)] - ((n+1)-1)$

Grazie per la risposta!

[pinobambam]

E se fosse una somma numerabile anziché finita come si dimostrerebbe?
cioè
$P(nnn_{i=1}^infty A_i) >= \sum_{i=1}^infty P(A_i)$ $-(n-1)$