Disuguaglianza
Se ho una successione di variabili aleatorie $\{X_j\}_j$ indipendenti e identicamente distribuite (di media $0$ e varianza $\sigma^2$) definisco $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$
Sia $T=min\{j\geq1:|S_j|>\epsilon\}$.
Sia $0<\delta<\frac{\epsilon^2}{2}$.
Qualcuno ha idea del perchè vale la seguente disuguaglianza:
$P(max_{0\leq j\leq[n\delta]+1}|S_j|>\epsilon)\leq P(|S_{[n\delta]+1}|\geq\epsilon-\sqrt{2\delta})+\sum_{j=1}^{[n\delta]}P(|S_{[n\delta]+1}|<\epsilon-\sqrt{2\delta}|T=j)P(T=j)$
Sicuramente $\{max_{0\leq j\leq[n\delta]+1}|S_j|>\epsilon\}$ coincide con l'evento $\{T\leq[n\delta]+1\}$.
Ora ho provato a dividere questo ultimo evento in tutti i modi ma quella cosa non mi torna.
Grazie a tutti.
Sia $T=min\{j\geq1:|S_j|>\epsilon\}$.
Sia $0<\delta<\frac{\epsilon^2}{2}$.
Qualcuno ha idea del perchè vale la seguente disuguaglianza:
$P(max_{0\leq j\leq[n\delta]+1}|S_j|>\epsilon)\leq P(|S_{[n\delta]+1}|\geq\epsilon-\sqrt{2\delta})+\sum_{j=1}^{[n\delta]}P(|S_{[n\delta]+1}|<\epsilon-\sqrt{2\delta}|T=j)P(T=j)$
Sicuramente $\{max_{0\leq j\leq[n\delta]+1}|S_j|>\epsilon\}$ coincide con l'evento $\{T\leq[n\delta]+1\}$.
Ora ho provato a dividere questo ultimo evento in tutti i modi ma quella cosa non mi torna.
Grazie a tutti.
Risposte
"stelladinatale":
Sicuramente $\{max_{0\leq j\leq[n\delta]+1}|S_j|>\epsilon\}$ coincide con l'evento $\{T\leq[n\delta]+1\}$.
Ora ho provato a dividere questo ultimo evento in tutti i modi ma quella cosa non mi torna.
Grazie a tutti.
Giusto, a questo punto hai finito! Infatti
$\{max_{0\leq j\leq[n\delta]+1}|S_j|>\epsilon\}$ coincide con l'evento $\{T\leq[n\delta]+1\}=\cup_{j=1}^{[n\delta]+1}\{T=j\}$
a questo punto partizioni rispetto all'evento $A:=\{|S_{[n\delta]+1}|\geq \epsilon-\sqrt{2\delta}\}$ e ottieni
$\{T\leq[n\delta]+1\}=\{T\leq[n\delta]+1\}\cap A+\{T\leq[n\delta]+1\}\cap A^c$ dove con $+$ ho indicato l'unione disgiunta.
Per inclusione di eventi ottieni quindi che
$\{T\leq[n\delta]+1\}\subset A+\{T\leq[n\delta]+1\}\cap A^c$ e la dimostrazione finisce scrivendo $\{T\leq[n\delta]+1\}=\cup_{j=1}^{[n\delta]+1}\{T=j\}$ e notando che (evento da scartare )$P(A^c,T=[n\delta]+1)=0$. A questo punto condizioni e ottieni la disuguaglianza. concordi?
ps quando hai disuguaglianze così macchinose, normalmente, le dimostrazioni sono basate su inclusioni di eventi.
In realtà a me in questo modo viene:
$P(max_{0\leq j\leq[n\delta]+1}|S_j|>\epsilon)\leq P(|S_{[n\delta]+1}|\geq\epsilon-\sqrt{2\delta}, T\leq[n\delta]+1)+\sum_{j=1}^{[n\delta]}P(|S_{[n\delta]+1}|<\epsilon-\sqrt{2\delta}|T=j)P(T=j)$ ma giustamente $P(|S_{[n\delta]+1}|\geq\epsilon-\sqrt{2\delta}, T\leq[n\delta]+1)=P(|S_{[n\delta]+1}|\geq\epsilon-\sqrt{2\delta})$ perchè il primo evento è incluso nel secondo e quindi torna.
Perfetto
Grazie mille!!!
$P(max_{0\leq j\leq[n\delta]+1}|S_j|>\epsilon)\leq P(|S_{[n\delta]+1}|\geq\epsilon-\sqrt{2\delta}, T\leq[n\delta]+1)+\sum_{j=1}^{[n\delta]}P(|S_{[n\delta]+1}|<\epsilon-\sqrt{2\delta}|T=j)P(T=j)$ ma giustamente $P(|S_{[n\delta]+1}|\geq\epsilon-\sqrt{2\delta}, T\leq[n\delta]+1)=P(|S_{[n\delta]+1}|\geq\epsilon-\sqrt{2\delta})$ perchè il primo evento è incluso nel secondo e quindi torna.
Perfetto
Grazie mille!!!
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