Distribuzioni variabili aleatorie

[97.russo]

Siano X, Y, Z indipendenti e distribuite uniformemente in [0, 1]. Calcolare la probabilita’ che Z sia minore o uguale a X + 2Y .
Ho pensato che bastasse calcolare un integrale triplo : $ int_0^1 dy int_0^1 dx int_0^(2x+y) dz$

[Lo_zio_Tom]

Anche senza fare conti si vede subito che quell'integrale fa più di uno: $(x,y)$ le hai fatte variare a piacimento in $ [0;1]^2$; ciò significa che $z$ va ben oltre 1...cosa che non può essere, ovviamente


Hint: ci sono delle zone del supporto in cui $mathbb{P}[Z<=X+2Y]=1$ altre invece no....


A conti fatti a me viene $mathbb{P}[Z<=X+2Y]=11/12$

EDIT:
Ecco la soluzione completa:

$mathbb{P}[Z1]+int_0^1dxint_0^(1/2-x/2)(x+2y)dy=3/4+1/6=11/12$

[97.russo]

MI daresti un aiuto in più per arrivare alla soluzione?