Distribuzioni e probabilità
Come da titolo le domande riguardano due argomenti non correlati fra loro ma su cui ho dei dubbi:
-Problema 1 (6 punti)
Si vuole depositare del gel, per gravità, su una superficie orizzontale di lati a = (6.0 + 0.1) cm e
b = (7.0 + 0.1) cm. Per farlo, si versa un volume V = (21.0 + 0.5) cm3 di gel sulla superficie, attorno
alla quale sono appoggiate delle pareti verticali per definire i bordi, e si attende che il gel si sia
distribuito uniformemente. Quanto vale lo spessore z di gel depositato sulla superficie ? Per calcolare
l’errore z si sommino linearmente le incertezze.
-Problema 2 (10 punti)
Riconsiderando la situazione del Problema 1, si immagini di dovere depositare gel su molte superfici
che però non sono orizzontali, ma sono appoggiate su un piano che varia la sua inclinazione, da un
deposito all’altro, in modo uniforme con 3° < < 3° (vedi figura). Qual è il valore medio dello
spessore z (esprimerlo fino alla cifra dei decimi di micrometro) ?
Nota 1: Le pareti che definiscono i bordi si mantengono sempre verticali, per qualsiasi .
Nota 2: $int1/cos(theta)*dtheta=1/2[ln(1+sin θ) ln(1-sin θ)]_a^b$
Soluzione (tralasciando la domanda sulle incertezze): $z=(A*h)/(b*a)=1/2cm$
Per quanto riguarda il valore medio ho risolto così:
ipotesi -> la distribuzione è uniforme. Da una tale informazione possiamo allora trovare il valore medio pensando che
$N*intf(theta)d(theta)=N*[F(b)-F(a)]=N*f'(c)*(b-a)$ (con N=coefficiente di normalizzazione) ($f'(c)=(F(b)-F(a))/(b-a)$ (teo media dell' integrale). Per cui assumendo che il valore dell' altezza della distribuzione (costante in quanto la sua distribuzione di probabilità è uniforme) sia dato dal valore massimo dello spessore z nell' intervallo considerato, abbiamo:
$N*f'(c)*(b-a)=1 =>N=1/(f'(c)*(b-a))$.
Il mio professore sostiene però che sia più corretto trovare l' espressione dello spessore del gel in funzione dell' angolo, e gli verrebbe: $intz(theta)f(theta)d(theta)=V/(a*b*cos(theta))*intf(theta)d(theta)=1$. Secondo voi il mio procedimento è errato?
Probabilità:
2)In una circonferenza sono distribuiti, a caso, 100 punti. Considerando un angolo di apertura con $alpha=1°$ e vertice nel centro della circonferenza, qual' è la probabilità di: non trovare nessun punto all' interno di un arco?
Non capisco come procedere.
Grazie mille per l' attenzione.
-Problema 1 (6 punti)
Si vuole depositare del gel, per gravità, su una superficie orizzontale di lati a = (6.0 + 0.1) cm e
b = (7.0 + 0.1) cm. Per farlo, si versa un volume V = (21.0 + 0.5) cm3 di gel sulla superficie, attorno
alla quale sono appoggiate delle pareti verticali per definire i bordi, e si attende che il gel si sia
distribuito uniformemente. Quanto vale lo spessore z di gel depositato sulla superficie ? Per calcolare
l’errore z si sommino linearmente le incertezze.
-Problema 2 (10 punti)
Riconsiderando la situazione del Problema 1, si immagini di dovere depositare gel su molte superfici
che però non sono orizzontali, ma sono appoggiate su un piano che varia la sua inclinazione, da un
deposito all’altro, in modo uniforme con 3° < < 3° (vedi figura). Qual è il valore medio dello
spessore z (esprimerlo fino alla cifra dei decimi di micrometro) ?
Nota 1: Le pareti che definiscono i bordi si mantengono sempre verticali, per qualsiasi .
Nota 2: $int1/cos(theta)*dtheta=1/2[ln(1+sin θ) ln(1-sin θ)]_a^b$
Soluzione (tralasciando la domanda sulle incertezze): $z=(A*h)/(b*a)=1/2cm$
Per quanto riguarda il valore medio ho risolto così:
ipotesi -> la distribuzione è uniforme. Da una tale informazione possiamo allora trovare il valore medio pensando che
$N*intf(theta)d(theta)=N*[F(b)-F(a)]=N*f'(c)*(b-a)$ (con N=coefficiente di normalizzazione) ($f'(c)=(F(b)-F(a))/(b-a)$ (teo media dell' integrale). Per cui assumendo che il valore dell' altezza della distribuzione (costante in quanto la sua distribuzione di probabilità è uniforme) sia dato dal valore massimo dello spessore z nell' intervallo considerato, abbiamo:
$N*f'(c)*(b-a)=1 =>N=1/(f'(c)*(b-a))$.
Il mio professore sostiene però che sia più corretto trovare l' espressione dello spessore del gel in funzione dell' angolo, e gli verrebbe: $intz(theta)f(theta)d(theta)=V/(a*b*cos(theta))*intf(theta)d(theta)=1$. Secondo voi il mio procedimento è errato?
Probabilità:
2)In una circonferenza sono distribuiti, a caso, 100 punti. Considerando un angolo di apertura con $alpha=1°$ e vertice nel centro della circonferenza, qual' è la probabilità di: non trovare nessun punto all' interno di un arco?
Non capisco come procedere.
Grazie mille per l' attenzione.
Risposte
Ciao, rispondo al punto 2:
Puoi vedere i 100 punti come realizzazioni i.i.d. provenienti da una distribuzione uniforme sul cerchio, $$X_1, X_2, ..., X_{100} \sim Unif(C)$$
La probabilitá di non trovare nessun punto nella regione $A$ é uguale a $$ P(X_1 \notin A \cap X_2 \notin A \cap ... \cap X_{100} \notin A) = P(X_1 \notin A)^{100} $$
perché le variabili sono tutte indipendenti e identicamente distribuite.
Per calcolare $ P(X_1 \notin A)$ si puó procedere ragionando oppure facendo i calcoli:
1) in una qualsiasi distribuzione uniforme, la probabilitá che una realizzazione sia in una determinata "area" equivale al rapporto tra l'area prestabilita e l'area totale. Infatti nel caso semplice $Y ~ U(0,1)$ si ha che $P(Y \in [a,b]) = b-a$.
Tornando al nostro cerchio, vogliamo calcolare la probabilitá che un punto NON si trovi nello spicchio di un grado di ampiezza, ovvero la probabilitá che il punto si trovi nel resto del cerchio.
Il rapporto tra le aree é $$\frac{\frac{359}{360} \ 2\pi}{2\pi} = \frac{359}{360}$$
Da qui elevando questo numero alla centesima potenza si ottiene la soluzione.
2) Altro modo per calcolare $P(X_1 \notin A)^{100}$, usando la densitá di probabilitá del punto $X_1 = (u,v)$.
$$ f(u,v) = \frac{1}{\pi r^2} \textit{I}(u^2 + v^2 < r^2)$$
In altre parole, é semplicemente una funzione costante, normalizzata con il valore dell'area totale del supporto.
La probabilitá cercata in questo caso si puó ottenere facilmente integrando (usando le coordinate polari):
$$P(X_1 \notin A) = P(X_1 \in A^c) = \int_{0}^{r} \int_{2\pi / 360}^{2\pi} \frac{1}{\pi r^2} \rho \ d\rho d\theta$$
Con qualche semplice passaggio ottieni lo stesso risultato del metodo 1).
Puoi vedere i 100 punti come realizzazioni i.i.d. provenienti da una distribuzione uniforme sul cerchio, $$X_1, X_2, ..., X_{100} \sim Unif(C)$$
La probabilitá di non trovare nessun punto nella regione $A$ é uguale a $$ P(X_1 \notin A \cap X_2 \notin A \cap ... \cap X_{100} \notin A) = P(X_1 \notin A)^{100} $$
perché le variabili sono tutte indipendenti e identicamente distribuite.
Per calcolare $ P(X_1 \notin A)$ si puó procedere ragionando oppure facendo i calcoli:
1) in una qualsiasi distribuzione uniforme, la probabilitá che una realizzazione sia in una determinata "area" equivale al rapporto tra l'area prestabilita e l'area totale. Infatti nel caso semplice $Y ~ U(0,1)$ si ha che $P(Y \in [a,b]) = b-a$.
Tornando al nostro cerchio, vogliamo calcolare la probabilitá che un punto NON si trovi nello spicchio di un grado di ampiezza, ovvero la probabilitá che il punto si trovi nel resto del cerchio.
Il rapporto tra le aree é $$\frac{\frac{359}{360} \ 2\pi}{2\pi} = \frac{359}{360}$$
Da qui elevando questo numero alla centesima potenza si ottiene la soluzione.
2) Altro modo per calcolare $P(X_1 \notin A)^{100}$, usando la densitá di probabilitá del punto $X_1 = (u,v)$.
$$ f(u,v) = \frac{1}{\pi r^2} \textit{I}(u^2 + v^2 < r^2)$$
In altre parole, é semplicemente una funzione costante, normalizzata con il valore dell'area totale del supporto.
La probabilitá cercata in questo caso si puó ottenere facilmente integrando (usando le coordinate polari):
$$P(X_1 \notin A) = P(X_1 \in A^c) = \int_{0}^{r} \int_{2\pi / 360}^{2\pi} \frac{1}{\pi r^2} \rho \ d\rho d\theta$$
Con qualche semplice passaggio ottieni lo stesso risultato del metodo 1).
ok grazie mille... Un' ultima cosa: e se invece di interpretare il caso come se tutti i punti fossero al di fuori di un certo arco vedessi la situazione come:
probabilità che nessun punto sia in un arco=P(H_1)=1/360 (cioè considero la probabilità data dall' ipotesi che solo un arco sia senza punti).
Ora dico: siccome classifichiamo le prove come incompatibili (cioè il verificarsi di non trovare un punto in un arco esclude il ripetersi di questa situazione se considero un altro arco) e indipendenti l' una dall' altra, allora avrò:
$P(H_1U...UH_100)=sum_1^100 (1/360)=100/360=28%$? Non sarebbe comunque un ragionamento congruo al caso? O mi sbaglio?
probabilità che nessun punto sia in un arco=P(H_1)=1/360 (cioè considero la probabilità data dall' ipotesi che solo un arco sia senza punti).
Ora dico: siccome classifichiamo le prove come incompatibili (cioè il verificarsi di non trovare un punto in un arco esclude il ripetersi di questa situazione se considero un altro arco) e indipendenti l' una dall' altra, allora avrò:
$P(H_1U...UH_100)=sum_1^100 (1/360)=100/360=28%$? Non sarebbe comunque un ragionamento congruo al caso? O mi sbaglio?
Credo che tu cosí facendo abbia calcolato la probabilitá dell'evento complementare.
1/360 é la probabilitá per un singolo punto di trovarsi nell'arco selezionato. A te interessa la probabilitá dell'evento complementare.
Facendo l'unione delle $H$ hai calcolato la probabilitá che ALMENO un punto si trovi nello spicchio desiderato.
Ricorda che la probabilitá dell'unione di eventi indipendenti é la probabilitá che almeno uno degli eventi si verifichi; la probabilitá dell'intersezione di eventi indipendenti invece é la probabilitá che tutti si verifichino.
1/360 é la probabilitá per un singolo punto di trovarsi nell'arco selezionato. A te interessa la probabilitá dell'evento complementare.
Facendo l'unione delle $H$ hai calcolato la probabilitá che ALMENO un punto si trovi nello spicchio desiderato.
Ricorda che la probabilitá dell'unione di eventi indipendenti é la probabilitá che almeno uno degli eventi si verifichi; la probabilitá dell'intersezione di eventi indipendenti invece é la probabilitá che tutti si verifichino.
Ok,lo sospettavo infatti. Grazie per l aiuto bassi
Figurati! Felice di averti aiutato.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo