Distribuzioni di probabilità
X e Y sono distribuite su questi domini secondo le seguenti regole:
$ a) f_1(x,y) = c(2xy^2 - x^2y)$ ;$(x,y) in [0;2] xx [0;2]$
$ b) f_2(x,y) = c(2xy^2 + x^2y) $ ;$(x,y) in [0;1] xx [0;1]$
$ c) f_3(x,y) = ce^-(x+y)$ ;$(x,y) in [0;infty) xx [0;infty)$
Determinare quali sono autentiche distribuzioni di probabilità e normalizzatele.
Determinare in quali casi X e Y sono variabili aleatorie indipendenti e trovare la funzione di ripartizione di X.
Avrei bisogno di aiuto teorico per risolvere l'esercizio.
Dopo aver risolto gli integrali doppi come devrei seguire?
Grazie a chi puo darmi dei suggerimenti
$ a) f_1(x,y) = c(2xy^2 - x^2y)$ ;$(x,y) in [0;2] xx [0;2]$
$ b) f_2(x,y) = c(2xy^2 + x^2y) $ ;$(x,y) in [0;1] xx [0;1]$
$ c) f_3(x,y) = ce^-(x+y)$ ;$(x,y) in [0;infty) xx [0;infty)$
Determinare quali sono autentiche distribuzioni di probabilità e normalizzatele.
Determinare in quali casi X e Y sono variabili aleatorie indipendenti e trovare la funzione di ripartizione di X.
Avrei bisogno di aiuto teorico per risolvere l'esercizio.
Dopo aver risolto gli integrali doppi come devrei seguire?
Grazie a chi puo darmi dei suggerimenti
Risposte
Per vedere quali sono distribuzioni basta che
1) la $f(x,y)>=0 AA (x,y) in D$
2) l'integrale doppio su tutto il dominio sia 1.
Per vedere se sono indipendenti deve essere $f(x,y)=f(x)f(y)$
Es: la prima f non può essere una distribuzione in quel dominio perché non è sempre $>=0$. Basta infatti, con $c>0$, prendere un qualunque $y
Es: il terzo esercizio
$int_(0)^(+oo)e^(-x)dxint_(0)^(+oo)e^(-y)dy=1$ quindi $c=1$
È evidente anche che $e^(-(x+y))=e^(-x)e^(-y)$
Quindi le variabili sono indipendenti e $F(x)=1-e^(-x)$
Prova tu ora a fare il secondo.... ed inoltre, come approfondimento all' esercizio 1: potresti anche trovare un dominio più ristretto $D sub[0;2]^2$ dove la $f_1(x,y)$ è una densità e poi rispondere agli altri quesiti della traccia
Ciao
1) la $f(x,y)>=0 AA (x,y) in D$
2) l'integrale doppio su tutto il dominio sia 1.
Per vedere se sono indipendenti deve essere $f(x,y)=f(x)f(y)$
Es: la prima f non può essere una distribuzione in quel dominio perché non è sempre $>=0$. Basta infatti, con $c>0$, prendere un qualunque $y
Es: il terzo esercizio
$int_(0)^(+oo)e^(-x)dxint_(0)^(+oo)e^(-y)dy=1$ quindi $c=1$
È evidente anche che $e^(-(x+y))=e^(-x)e^(-y)$
Quindi le variabili sono indipendenti e $F(x)=1-e^(-x)$
Prova tu ora a fare il secondo.... ed inoltre, come approfondimento all' esercizio 1: potresti anche trovare un dominio più ristretto $D sub[0;2]^2$ dove la $f_1(x,y)$ è una densità e poi rispondere agli altri quesiti della traccia
Ciao
Innanzitutto ringrazio a tommik per la risposta.
Allora:
1)Per vedere quali sono distribuzioni basta che la $f(x,y)≥0∀(x,y)∈D$
2) l'integrale doppio su tutto il dominio sia 1.
La prima f non può essere una distribuzione in quel dominio perché non è sempre $≥0$. Basta infatti, con $c>0$, prendere un qualunque $y
inoltre $\cint_{0}^{2} dx int_{0}^{2} 2xy^2 - x^2y$ $dy$ $= 16/3$ da cui $c=16/3$
Quindi possiamo dire che non è una autentica distribuzione di proprietà, giusto?
Invece per vedere se sono indipendenti si deve provare che $f(x,y)=f(x)f(y)$
Ma come faccio a risolvere questa equazione funzionale???
Per quanto riguarada la seconda equazione: $f(x,y)=c(2xy^2+x^2y)$ vale lo stesso:
Non può essere una distribuzione in quel dominio perché non è sempre $≥0$. Basta infatti, con $c>0$, prendere un qualunque $y<-x/2$.
Ed infine non ho capito cosa intende per normalizzare la distribuzione di probabilità.
Mi piacerebbe davvero capire come risolvere questi punti.
Grazie a chiunque mi possa aiutare!
Allora:
1)Per vedere quali sono distribuzioni basta che la $f(x,y)≥0∀(x,y)∈D$
2) l'integrale doppio su tutto il dominio sia 1.
La prima f non può essere una distribuzione in quel dominio perché non è sempre $≥0$. Basta infatti, con $c>0$, prendere un qualunque $y
inoltre $\cint_{0}^{2} dx int_{0}^{2} 2xy^2 - x^2y$ $dy$ $= 16/3$ da cui $c=16/3$
Quindi possiamo dire che non è una autentica distribuzione di proprietà, giusto?
Invece per vedere se sono indipendenti si deve provare che $f(x,y)=f(x)f(y)$
Ma come faccio a risolvere questa equazione funzionale???
Per quanto riguarada la seconda equazione: $f(x,y)=c(2xy^2+x^2y)$ vale lo stesso:
Non può essere una distribuzione in quel dominio perché non è sempre $≥0$. Basta infatti, con $c>0$, prendere un qualunque $y<-x/2$.
Ed infine non ho capito cosa intende per normalizzare la distribuzione di probabilità.
Mi piacerebbe davvero capire come risolvere questi punti.
Grazie a chiunque mi possa aiutare!
Non hai capito... forse devi prima studiare meglio la teoria .
1) la $f(x,y)$ non può essere una densità perché non è sempre $>=0$ nel dominio. Quindi non ha alcun senso fare l'integrale.
2) la $f(x,y)$ può essere una densità: infatti è sempre non negativa in $[0;1]xx[0;1]$ essendo la somma di due quantità non negative. ( $y<-x/2$ non vale perché non è nel dominio ). Per essere una densità occorre che l'integrale su tutto il dominio sia 1. Ovvero occorre normalizzarla trovando $c=2$. Idem per l'esempio 3) che risulta essere una densità per $c=1$
Per l'indipendenza, definita se e solo se
$f_(XY)(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$
tale uguaglianza non va risolta ma solo verificata. Vero nel 3) e falso nel 2). Ovviamente per verificare tale uguaglianza occorre prima calcolare le due distribuzioni marginali che saprai sicuramente come fare...
Dai mostra un tentativo di soluzione... è molto più semplice di quanto pensi.
Ciao
1) la $f(x,y)$ non può essere una densità perché non è sempre $>=0$ nel dominio. Quindi non ha alcun senso fare l'integrale.
2) la $f(x,y)$ può essere una densità: infatti è sempre non negativa in $[0;1]xx[0;1]$ essendo la somma di due quantità non negative. ( $y<-x/2$ non vale perché non è nel dominio ). Per essere una densità occorre che l'integrale su tutto il dominio sia 1. Ovvero occorre normalizzarla trovando $c=2$. Idem per l'esempio 3) che risulta essere una densità per $c=1$
Per l'indipendenza, definita se e solo se
$f_(XY)(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$
tale uguaglianza non va risolta ma solo verificata. Vero nel 3) e falso nel 2). Ovviamente per verificare tale uguaglianza occorre prima calcolare le due distribuzioni marginali che saprai sicuramente come fare...
Dai mostra un tentativo di soluzione... è molto più semplice di quanto pensi.
Ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo