[Distribuzione uniforme] densità /distribuzione cumulativa
Salve a tutti,
essendomi addentrato da poco nello studio di variabili di aleatorie continue ho ancora le idee un pò confuse.
Inanzi tutto se parliamo di distribuzione uniforme, da quel che ho capito, significa che la nostra funzione di densità $f_X(x)$ "è costante" in un intervallo, a parte che ci sono tutta una serie di proprietà che deve rispettare.
La distribuzione cumulativa $F_X(x)$ invece, che matematicamente è pari all'integrale della funzione di densità $f_X(x)$, c'è stato detto che possiamo approssimarla nel seguente modo:
$F_X(x) = f_X(x) * \Deltax$
Dove $\Deltax$ non sarà altro che quel numero che andremo a sommare ad $x$ per avere l'intervallo $[x,x+\Deltax]$ su cui calcolarci la nostra funzione distribuzione cumulativa.
Ora sperando nella correttezza di quanto detto siamo passati ad analizzare una variabile aleatoria $U$ distribuita uniformemente su un intervallo $[0,1]$ dove avremo come densita:
$0$ se $x notin [0,1]$
$1$ se $x in [0,1]$
Abbiamo fatto l'esempio in cui vogliamo calcolarci la probabilità $P(U<= 1/6)$
Abbiamo visto che $P(U<= 1/6) = F_U(1/6)$
Questo è tutto uguale ad $1/6$ perchè se guardiamo la nostra formula di approsimazione $\Deltau = 1/6$ e $f_U(u) = 1$
Abbiamo visto che qualsiasi valore che quindi diamo alla nostra $u$ quello, se preso all'interno nell'intervallo $[0,1]$ sarà esattamente $u$.
Ora viene posto un'altro interrogativo, che è quello che ho incompleto e non riesco a svolgere da me, supponiamo di avere un'altra variabile aleatoria uniformemente distribuita $X$ e diciamo che $X = 2*U+3$
Inanzi tutto dice che il rango di $X = [3,5]$ questo perchè facendo variare $U$ da $0$ ad $1$ quelli sono i massimi valori assumibili, o almeno credo, da $X$.
A qesto punto vuole calcolarsi $F_X(x) = P(X <= x) = P(2*U+3 <= x) = P(U <= (x-3)/2) = F_U((x-3)/2)$
Ma arrivati qui che possiamo fare? cioè dobbiamo far variare la x tra che valori? come si prosegue l'esercizio?
Anche perchè il professore ci ha detto "Troverete che $X$ ha distribuzione uniforme nell'intervallo [2,3]". Come facciamo dalla formula di sopra a giungere a questa conclusione?
Vi ringrazio in anticipo per l'attenzione,
Neptune.
essendomi addentrato da poco nello studio di variabili di aleatorie continue ho ancora le idee un pò confuse.
Inanzi tutto se parliamo di distribuzione uniforme, da quel che ho capito, significa che la nostra funzione di densità $f_X(x)$ "è costante" in un intervallo, a parte che ci sono tutta una serie di proprietà che deve rispettare.
La distribuzione cumulativa $F_X(x)$ invece, che matematicamente è pari all'integrale della funzione di densità $f_X(x)$, c'è stato detto che possiamo approssimarla nel seguente modo:
$F_X(x) = f_X(x) * \Deltax$
Dove $\Deltax$ non sarà altro che quel numero che andremo a sommare ad $x$ per avere l'intervallo $[x,x+\Deltax]$ su cui calcolarci la nostra funzione distribuzione cumulativa.
Ora sperando nella correttezza di quanto detto siamo passati ad analizzare una variabile aleatoria $U$ distribuita uniformemente su un intervallo $[0,1]$ dove avremo come densita:
$0$ se $x notin [0,1]$
$1$ se $x in [0,1]$
Abbiamo fatto l'esempio in cui vogliamo calcolarci la probabilità $P(U<= 1/6)$
Abbiamo visto che $P(U<= 1/6) = F_U(1/6)$
Questo è tutto uguale ad $1/6$ perchè se guardiamo la nostra formula di approsimazione $\Deltau = 1/6$ e $f_U(u) = 1$
Abbiamo visto che qualsiasi valore che quindi diamo alla nostra $u$ quello, se preso all'interno nell'intervallo $[0,1]$ sarà esattamente $u$.
Ora viene posto un'altro interrogativo, che è quello che ho incompleto e non riesco a svolgere da me, supponiamo di avere un'altra variabile aleatoria uniformemente distribuita $X$ e diciamo che $X = 2*U+3$
Inanzi tutto dice che il rango di $X = [3,5]$ questo perchè facendo variare $U$ da $0$ ad $1$ quelli sono i massimi valori assumibili, o almeno credo, da $X$.
A qesto punto vuole calcolarsi $F_X(x) = P(X <= x) = P(2*U+3 <= x) = P(U <= (x-3)/2) = F_U((x-3)/2)$
Ma arrivati qui che possiamo fare? cioè dobbiamo far variare la x tra che valori? come si prosegue l'esercizio?
Anche perchè il professore ci ha detto "Troverete che $X$ ha distribuzione uniforme nell'intervallo [2,3]". Come facciamo dalla formula di sopra a giungere a questa conclusione?
Vi ringrazio in anticipo per l'attenzione,
Neptune.
Risposte
La CDF (Funzione di ripartizione) è:
$F_X(x) = P(X <= x) = P(2*U+3 <= x) = P(U <= (x-3)/2) = F_U((x-3)/2)=(x-3)/2$ con $x = [3,5]$ (un segmento di retta con valori da 0 a 1)
La PDF (densità di probabilità):
$f_X(x)=(dF_X(x))/dx=1/2$ con $x = [3,5]$ (è costante, quindi la $X$ è una v.a. continua uniforme)
vedi anche qui
ciao
$F_X(x) = P(X <= x) = P(2*U+3 <= x) = P(U <= (x-3)/2) = F_U((x-3)/2)=(x-3)/2$ con $x = [3,5]$ (un segmento di retta con valori da 0 a 1)
La PDF (densità di probabilità):
$f_X(x)=(dF_X(x))/dx=1/2$ con $x = [3,5]$ (è costante, quindi la $X$ è una v.a. continua uniforme)
vedi anche qui
ciao
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