Distribuzione uniforme al quadrato...?
Non volevo porre un problema. Ma solo fare una considerazione.
Cioè la distribuzione continua uniforme ha la caratteristica di associare ad ogni valore appartenente all'intervallo in cui è definita la stessa probabilità di realizzazione.
Se però eleviamo un uniforme al quadrato questa distribuzione cambia molto. Ora mi chiedo come mai cambia così tanto?
Se è definita in un intervallo comprendente numeri negativi la cosa è abbastanza intuibile. Però solo con dei numeri positivi non riesco ad arrivarci per logica.
Ovviamente vedo che cambia la funzione di densità infatti se abbiamo un uniforme tra 0 e 1 abbiamo che la probabilità è costante, ma se la eleviamo al quadrato si vede che la funzione di densità dipende dall'ascissa.
Ho provato a fare delle simulazioni con R e si nota (con questi numeri) che valori vicini allo 0 hanno probabilità molto alta, e questa decresce man mano che si va verso l'1.
Però non riesco a capire il motivo.
Chi mi da qualche delucidazione?
Cioè la distribuzione continua uniforme ha la caratteristica di associare ad ogni valore appartenente all'intervallo in cui è definita la stessa probabilità di realizzazione.
Se però eleviamo un uniforme al quadrato questa distribuzione cambia molto. Ora mi chiedo come mai cambia così tanto?
Se è definita in un intervallo comprendente numeri negativi la cosa è abbastanza intuibile. Però solo con dei numeri positivi non riesco ad arrivarci per logica.
Ovviamente vedo che cambia la funzione di densità infatti se abbiamo un uniforme tra 0 e 1 abbiamo che la probabilità è costante, ma se la eleviamo al quadrato si vede che la funzione di densità dipende dall'ascissa.
Ho provato a fare delle simulazioni con R e si nota (con questi numeri) che valori vicini allo 0 hanno probabilità molto alta, e questa decresce man mano che si va verso l'1.
Però non riesco a capire il motivo.
Chi mi da qualche delucidazione?
Risposte
Beh se [tex]X\in [0,1][/tex] e ogni evento si verifica con eguale probabilità, dal momento che il quadrato di un numero inferiore all'unità è inferiore al valore stesso mi aspetto un addensamento di termini vicino allo [tex]0[/tex]. In altri termini, se [tex]X\leq x_0[/tex] sicuramente accadrà anche che [tex]X^2\leq x_0[/tex], ma non è vero il viceversa. Dunque, è maggiore la probabilità che si verifichi il secondo evento piuttosto che il primo. Non ti convince?
Vediamo se sono riuscito a capire il tuo dubbio.
Il problema è che la variabile aleatoria uniforme continua elevata al quadrato non è più uniforme!
nel senso che se per l'uniforme, intesa nel solito intervallo $(0,1)$; vale $F(x)=x$ ne consegue che la funzione di densità che si ottiene derivando è $f(x)=1$ che è una costante
ma se vogliamo l'uniforme al quadrato dobbiamo lavorare sulla funzione di ripartizione e quindi $F(x)=x^2$ da cui $f(x)=2x$ che non è una costante ma dipende da $x$ (o come tu ai detto dall'ascissa). Adesso non è necessario passare attraverso simulazioni perchè è semplice (se conosci gli integrali di base) trovare momenti e probabilità.
Per farti degli esempi, come probabilmente sai:
nel caso $F(x)=x$ abbiamo $E[x]=1/2$ $E[x|x<0,5]=1/4$ $P(x<0,5)=1/2$
se, invece, abbiamo $F(x)=x^2$ puoi verificare che $E[x]=2/3$ $E[x|x<0,5]=4/24$ $P(x<0,5)=1/4$
spero di non aver sbagliato i conti perchè li ho fatti a mente.
Il punto chiave è che si nota che i valori maggiori di 0,5 sono più probabili e quindi il valore atteso aumenta.
Se il dominio della v.a. non è più $(0,1)$ la questione si complica.
Spero di esserti stato utile.
Il problema è che la variabile aleatoria uniforme continua elevata al quadrato non è più uniforme!
nel senso che se per l'uniforme, intesa nel solito intervallo $(0,1)$; vale $F(x)=x$ ne consegue che la funzione di densità che si ottiene derivando è $f(x)=1$ che è una costante
ma se vogliamo l'uniforme al quadrato dobbiamo lavorare sulla funzione di ripartizione e quindi $F(x)=x^2$ da cui $f(x)=2x$ che non è una costante ma dipende da $x$ (o come tu ai detto dall'ascissa). Adesso non è necessario passare attraverso simulazioni perchè è semplice (se conosci gli integrali di base) trovare momenti e probabilità.
Per farti degli esempi, come probabilmente sai:
nel caso $F(x)=x$ abbiamo $E[x]=1/2$ $E[x|x<0,5]=1/4$ $P(x<0,5)=1/2$
se, invece, abbiamo $F(x)=x^2$ puoi verificare che $E[x]=2/3$ $E[x|x<0,5]=4/24$ $P(x<0,5)=1/4$
spero di non aver sbagliato i conti perchè li ho fatti a mente.
Il punto chiave è che si nota che i valori maggiori di 0,5 sono più probabili e quindi il valore atteso aumenta.
Se il dominio della v.a. non è più $(0,1)$ la questione si complica.
Spero di esserti stato utile.
@markowitz
L'esempio che fai è errato. Se ho una variabile aleatoria [tex]X[/tex] con cdf [tex]F(x)[/tex] e vogli determinare la cdf della va [tex]Y=X^2[/tex] allora:
[tex]Pr\{Y\leq y\}=Pr\{X^2\leq y\}=Pr\{-\sqrt{y}\leq X \leq \sqrt{y}\}=F(\sqrt{y})-F(-\sqrt{y})[/tex]
che non è certamente quello che hai mostrato.
L'esempio che fai è errato. Se ho una variabile aleatoria [tex]X[/tex] con cdf [tex]F(x)[/tex] e vogli determinare la cdf della va [tex]Y=X^2[/tex] allora:
[tex]Pr\{Y\leq y\}=Pr\{X^2\leq y\}=Pr\{-\sqrt{y}\leq X \leq \sqrt{y}\}=F(\sqrt{y})-F(-\sqrt{y})[/tex]
che non è certamente quello che hai mostrato.
Si sicuramente sono d'accordo con L.Lomax.
Quindi in teoria abbiamo un "addensamento" per valori tra 0 e 1, e una dispersione per valori maggiori di 1.
Nel senso che per valori più piccoli di uno abbiamo valori più piccoli di quelli iniziali, mentre per valori maggiori di uno valori più grandi. Ragionando in termini di funzione di ripartizione la cosa sembra abbastanza intuitiva.
Quel che mi fa strano è pensare alla funzione di densità.
Se i miei calcoli sono giusti per un uniforme con valori solo positivi non abbiamo il problema di $-\sqrt{y}$, quindi i valori che genera la $t=y^2$ è solo uno con probabilità costante. Non riesco a intendere il cambiamento. Ovviamente è ovvio che nel mio ragionamento c'è un errore di fondo.
Grazie per le risposte comunque.
Quindi in teoria abbiamo un "addensamento" per valori tra 0 e 1, e una dispersione per valori maggiori di 1.
Nel senso che per valori più piccoli di uno abbiamo valori più piccoli di quelli iniziali, mentre per valori maggiori di uno valori più grandi. Ragionando in termini di funzione di ripartizione la cosa sembra abbastanza intuitiva.
Quel che mi fa strano è pensare alla funzione di densità.
Se i miei calcoli sono giusti per un uniforme con valori solo positivi non abbiamo il problema di $-\sqrt{y}$, quindi i valori che genera la $t=y^2$ è solo uno con probabilità costante. Non riesco a intendere il cambiamento. Ovviamente è ovvio che nel mio ragionamento c'è un errore di fondo.
Grazie per le risposte comunque.
La variabile aleatoria che stiamo considerando non può assumere valori al di fuori dell'intervallo [tex][0,1][/tex] (o meglio li assume con probabilità nulla). Dunque, non è corretto il tuo ragionamento. Anche per la seconda parte, non capisco cosa tu voglia dire e quali siano i tuoi dubbi.
Forse il problema è che io mi sono riferito ad una v.a. che ha una pdf = $2x$ e quindi si ricava una cdf = $x^2$ perchè pensavo ad una forma del genere per un'uniforme al quadrato, ovvero un'altra v.a. diversa dalla uniforme è con una cdf uguale al quadrato di quella dell'uniforme stessa. Il tutto riferendomi allo spazio $(0,1)$ dove integrando la nuova funzione di densità sullo spazio stesso dobbiamo ottenere $1$ per definizione.
Forse si intendeva, invece, avere $x$ distribuita come $U(0,1)$ ed avere informazioni sulla trasformazione $g(x)=x^2$
da cui
$E[g(x)]=int_(0)^(1) g(x)f(x)dx=int_(0)^(1) x^2dx=1/3$
che è coerente col fatto che, nell'intervallo $(0,1)$ diventano più probabili realizzazioni vicine allo $0$ piuttosto che all'$1$
l'estensione ad un'intervallo $(a,b)$ sarebbe solo una questione di calcoli.
Se sono ancora fuiri strada vi sarei grato se mi indicaste il valore atteso corretto ed il modo per ottenerlo.
Grazie
Forse si intendeva, invece, avere $x$ distribuita come $U(0,1)$ ed avere informazioni sulla trasformazione $g(x)=x^2$
da cui
$E[g(x)]=int_(0)^(1) g(x)f(x)dx=int_(0)^(1) x^2dx=1/3$
che è coerente col fatto che, nell'intervallo $(0,1)$ diventano più probabili realizzazioni vicine allo $0$ piuttosto che all'$1$
l'estensione ad un'intervallo $(a,b)$ sarebbe solo una questione di calcoli.
Se sono ancora fuiri strada vi sarei grato se mi indicaste il valore atteso corretto ed il modo per ottenerlo.
Grazie
Si quando intendevo per valori maggiori di uno chiaramente mi riferivo non ad un uniforme [0,1]... Il mio dubbio è come mai una trasoformazione di una variabile che ha probabilità costante generi una distribuzione con probabilità non più costante.
Forse posso aiutarti. Per prima cosa dobbiamo dire che per essere più precisi (nel caso di v.a. continue) parliamo di una funzione di densità "di" probabilità che è una funzione costante ovvero possiede la stessa area in tutti gli intervalli (se equidistanziati) in cui la v.a. può prendere valori (dove può vuol dire con prob. $>0$).
Adesso se hai una v.a. $U(a,b)$ hai una la seguente funzione di densità: $f(x)=1/(b-a)$ e l'associata funzione di ripartizione (che in casi semplici come questo si definisce in forma chiusa, altrimenti ci teniamo l'integrale)
$F(x)=(x-a)/(b-a)$.
Non esiste nessun altra distribuzione continua con funzione di densità costante, è per questo che quando all'inizio ai parlato di uniforme al quadrato ho pensato ad una funzione di ripartizione $F(x)=x^2$ da cui si ricava l'associata funzione di densità che come avevi detto tu è funzione dell'ascissa. Ma chiaramente tale densità non è una funzione costante e si dovrebbero ricavare i risultati che ho indicato prima. Ovvero abbiamo definito una nuova v.a. completamente estranea alla $U(0,1)$
Invece se vogliamo definire una funzione della v.a. di partenza è tutta un'altra cosa perchè è come se avessi un "generatore" che è la tua v.a. di partenza diciamo $U(0,1)$ e successivamente prendi la realizzazione $x$ estratta appunto dalla distrib. $U(0,1)$ e "gli fai fare quello che vuoi"
1) non è detto che $g(x)$ assuma valori nello stesso intervallo in cui lo fa $f(x)$ ovvero $(0,1)$; il caso $g(x)=x^2$ è un caso particolare, che forse porta in confusione.
2) se $g(x)$ è lineare in $x$: possiamo dividere il dominio di $g(x)$ in intervalli equidistanziati ed ognuno sarà equiprobabile, sostanzialmente perchè $g'(x)=$costante
Ed inoltre vale la seguente importante proprietà $E[g(x)]=g(E[x])$
Se $g(x)$ non è lineare in $x$ (come nel caso che ti interessa) gli intervalli definiti come prima non godono della stessa proprietà sostanzialmente perché $g'(x)$= dipende da $x$ forse è proprio qui che risiedeva la tua perplessità
Inoltre (almeno in generale) vale $E[g(x)]!=g(E[x])$
spero di aver chiarito i tuoi dubbi
Adesso se hai una v.a. $U(a,b)$ hai una la seguente funzione di densità: $f(x)=1/(b-a)$ e l'associata funzione di ripartizione (che in casi semplici come questo si definisce in forma chiusa, altrimenti ci teniamo l'integrale)
$F(x)=(x-a)/(b-a)$.
Non esiste nessun altra distribuzione continua con funzione di densità costante, è per questo che quando all'inizio ai parlato di uniforme al quadrato ho pensato ad una funzione di ripartizione $F(x)=x^2$ da cui si ricava l'associata funzione di densità che come avevi detto tu è funzione dell'ascissa. Ma chiaramente tale densità non è una funzione costante e si dovrebbero ricavare i risultati che ho indicato prima. Ovvero abbiamo definito una nuova v.a. completamente estranea alla $U(0,1)$
Invece se vogliamo definire una funzione della v.a. di partenza è tutta un'altra cosa perchè è come se avessi un "generatore" che è la tua v.a. di partenza diciamo $U(0,1)$ e successivamente prendi la realizzazione $x$ estratta appunto dalla distrib. $U(0,1)$ e "gli fai fare quello che vuoi"
1) non è detto che $g(x)$ assuma valori nello stesso intervallo in cui lo fa $f(x)$ ovvero $(0,1)$; il caso $g(x)=x^2$ è un caso particolare, che forse porta in confusione.
2) se $g(x)$ è lineare in $x$: possiamo dividere il dominio di $g(x)$ in intervalli equidistanziati ed ognuno sarà equiprobabile, sostanzialmente perchè $g'(x)=$costante
Ed inoltre vale la seguente importante proprietà $E[g(x)]=g(E[x])$
Se $g(x)$ non è lineare in $x$ (come nel caso che ti interessa) gli intervalli definiti come prima non godono della stessa proprietà sostanzialmente perché $g'(x)$= dipende da $x$ forse è proprio qui che risiedeva la tua perplessità
Inoltre (almeno in generale) vale $E[g(x)]!=g(E[x])$
spero di aver chiarito i tuoi dubbi
@icklazza
La risposta alla tua domanda è giustificata dal fatto che la trasformazione stessa è non lineare.
La risposta alla tua domanda è giustificata dal fatto che la trasformazione stessa è non lineare.
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