Distribuzione Stimatore

[ndrecord]

Salve, ho un esame di stat II venerdì e sono veramente in difficoltà con questo esercizio!

\(\displaystyle X \sim N(\mu=10,\sigma^{2}) \)
\(\displaystyle Y \sim N(\mu=15,2\sigma^{2}) \)

Si estragga un c.c.s. di dimensione 12 da X e un c.c.s da Y di dim 15.

Qual è la distribuzione campionaria di \(\displaystyle T2=\frac{(\bar{Y}-\bar{X})}{\sigma} \) ?


Si pensava fosse una differenza di Normali più un certo Z ma non sappiamo di preciso quale. Qualche suggerimento?

Grazie mille in anticipo!!!

[ndrecord]

Ho corretto la domanda

Il primo dovrebbe essere una Chi Quadrato con 25 gradi di libertà, spero!

il T2 secondo noi è una \(\displaystyle W \sim \frac{N(\mu=5, 5\sigma^{2})}{\sigma} \) ma non ne siamo sicuri e non sappiamo nemmeno come si distribuisce

[ndrecord]

A pensarci bene il \(\displaystyle \sigma^{2} \) potrebbe essere diverso!


Potrebbe essere

\(\displaystyle \frac{\sigma^{2}}{12^{2}}+\frac{\sigma^{2}}{15^{2}} = \frac{\sigma^{2}}{144}+\frac{\sigma^{2}}{225} = \frac{369}{32400}\sigma^{2} \)


Per cui potrebbe (?) essere

\(\displaystyle \sqrt{\frac{369}{32400}} \frac{N \sim (0,\sigma^{2})}{\sigma} + 5 = Z\sqrt{\frac{369}{32400}} + 5 \)

Possibile?

Post scrittum : siamo in 2 a smattare su questo stimatore

[Lo_zio_Tom]

ma scusate eh.....

$X~ N(10, sigma^2)rarr bar(X)_(12)~N(10, sigma^2/12)$

$Y~ N(15,2 sigma^2)rarr bar(Y)_(15)~N(15, (2sigma^2)/15)$

Quindi $Z=bar(Y)-bar(X)~N(5; 13/60sigma^2)$

avete l'esame fra due giorni ed in due non siete capaci di trasformare

$W=g(Z)=Z/sigma$???

che dovreste sapere senza fare conti....ma anche se non ne foste capaci, potreste ricordarvi che la trasformazione in oggetto è monotona e quindi la densità

$f_W(w)=f_Z(g^(-1)(w))|d/(dw)g^(-1)|$

per cui vi troverete una normale di varianza che non dipende più da $sigma^2$ ed una media scalata....ovvero una normale di media $5/sigma$ e di varianza $13/60$

vi trovate?

$f_Z(z)=1/(sigmasqrt(13/60)sqrt(2pi))e^(-1/(2*13/60*sigma^2)(z-5)^2$

$W=Z/sigma rarr z=wsigma rarr d/(dw)z=sigma>0$

$f_W(w)=1/(sqrt(13/60)sqrt(2pi))e^(-1/(2*13/60)(w-5/sigma)^2$

Ovviamente esistono altre strade che portano al medesimo risultato ma senza fare tanti conti, utilizzando le proprietà della gaussiana

[ndrecord]

Si, facendo un po' di conti torna così, non avevamo mai fatto esercizi simili per cui abbiamo trovato delle difficoltà!

Grazie mille per il tuo aiuto, sei stato molto chiaro e preciso!