Distribuzione statistica campionaria
Domanda teorica:
E' possibile che una statistica campionaria abbia distribuzione normale anche se non stima un parametro di una popolazione con distribuzione normale?
Se sì, perché?
E' possibile che una statistica campionaria abbia distribuzione normale anche se non stima un parametro di una popolazione con distribuzione normale?
Se sì, perché?
Risposte
Supponiamo di avere una popolazione. La distribuzione di probabilità non è normale (e.g. poissoniana).
Estraggo $m$ campioni, ognuno di numerosità $n$, e valuto una statistica campionaria $X$ per stimare un parametro della popolazione (di cui è nota la distribuzione di probabilità).
E' corretto dire che i valori che assume la statistica campionaria seguono una distribuzione normale?
Estraggo $m$ campioni, ognuno di numerosità $n$, e valuto una statistica campionaria $X$ per stimare un parametro della popolazione (di cui è nota la distribuzione di probabilità).
E' corretto dire che i valori che assume la statistica campionaria seguono una distribuzione normale?
Premetto che sono ignorante in materia.
Conosco le basi della statistica, niente di più.
Detto ciò...Stavo leggendo degli appunti di un professore di ingegneria energetica riguardanti controllo statistico di qualità, in cui veniva fatto un esempio riguardante dei bulloni ed il loro diametro.
Vengono estratti $m=10$ campioni di numerosità $n=15$.
Per ogni bullone, viene misurato il diametro.
Per ogni campione, viene fatta la media dei diametri (media campionaria $bar(X)$).
Vi era scritto che il diametro dei bulloni della popolazione segue una distribuzione normale con media e varianza noti, e che la media campionaria (stimatore della media della popolazione) segue anch'essa una distribuzione normale, con media uguale a quella della popolazione.
Su una nota vi era scritto che, SE il diametro dei bulloni della popolazione non avesse avuto distribuzione normale, la media campionaria avrebbe comunque avuto distribuzione normale.
Questa affermazione mi ha lasciato un po' basito, da qui il mio post...
Conosco le basi della statistica, niente di più.
Detto ciò...Stavo leggendo degli appunti di un professore di ingegneria energetica riguardanti controllo statistico di qualità, in cui veniva fatto un esempio riguardante dei bulloni ed il loro diametro.
Vengono estratti $m=10$ campioni di numerosità $n=15$.
Per ogni bullone, viene misurato il diametro.
Per ogni campione, viene fatta la media dei diametri (media campionaria $bar(X)$).
Vi era scritto che il diametro dei bulloni della popolazione segue una distribuzione normale con media e varianza noti, e che la media campionaria (stimatore della media della popolazione) segue anch'essa una distribuzione normale, con media uguale a quella della popolazione.
Su una nota vi era scritto che, SE il diametro dei bulloni della popolazione non avesse avuto distribuzione normale, la media campionaria avrebbe comunque avuto distribuzione normale.
Questa affermazione mi ha lasciato un po' basito, da qui il mio post...
"anonymous_f3d38a":
Vi era scritto che il diametro dei bulloni della popolazione segue una distribuzione normale con media e varianza noti, e che la media campionaria (stimatore della media della popolazione) segue anch'essa una distribuzione normale, con media uguale a quella della popolazione.
La media, non una statistica qualsiasi. Ed è solo approssimativamente normale a meno che la distribuzione di partenza non sia normale.
https://it.wikipedia.org/wiki/Teoremi_c ... del_limite
"ghira":
La media, non una statistica qualsiasi. Ed è solo approssimativamente normale a meno che la distribuzione di partenza non sia normale.
Questo è in disaccordo con quanto sostiene il professore di @anonymous_f3d38a
"CLaudio Nine":
[quote="ghira"]
La media, non una statistica qualsiasi. Ed è solo approssimativamente normale a meno che la distribuzione di partenza non sia normale.
Questo è in disaccordo con quanto sostiene il professore di @anonymous_f3d38a
[/quote]Ma quello che ha detto il professore (se @anonymous_f3d38a ha riportato le sue parole fedelmente) è _palesemente_ falso. Basta pensare ai campioni di dimensione 1. O ai campioni di dimensione 2 presi da una distribuzione esponenziale, diciamo.
Forse il professore ingegnere si è dimenticato di precisare "nel caso in cui il numero di campioni tenda a $+oo$ o sia sufficientemente grande" , nel caso in cui verrebbe in suo aiuto il teorema del limite centrale...
"CLaudio Nine":
Forse il professore ingegnere si è dimenticato di precisare "nel caso in cui il numero di campioni tenda a $+oo$ o sia sufficientemente grande" , nel caso in cui verrebbe in suo aiuto il teorema del limite centrale...
Premetto che non studio la materia da un po'.
Secondo me, se prendi "n" campioni e fai tendere "n" a più infinito, allora la statistica campionaria avrà per forza distribuzione normale.
"anonymous_58f0ac":
[quote="CLaudio Nine"]Forse il professore ingegnere si è dimenticato di precisare "nel caso in cui il numero di campioni tenda a $+oo$ o sia sufficientemente grande" , nel caso in cui verrebbe in suo aiuto il teorema del limite centrale...
Premetto che non studio la materia da un po'.
Secondo me, se prendi "n" campioni e fai tendere "n" a più infinito, allora la statistica campionaria avrà per forza distribuzione normale.[/quote]
Qualsiasi statistica campionaria?
Non è nemmeno vero per la media. Considera la distribuzione di Cauchy.
Il teorema del limite centrale non interviene in tal caso? La statistica campionaria è pur sempre una variabile aleatoria
"anonymous_58f0ac":
Il teorema del limite centrale non interviene in tal caso? La statistica campionaria è pur sempre una variabile aleatoria
Il teorema del limite centrale (o teorema centrale del limite) non vale per tutte le distribuzioni.
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