Distribuzione normale e trasformata di Fourier
Io ho la distribuzione normale $N_{\mu \sigma^2}$.
Dagli appunti risulta che la trasformata della distribuzione normale è
$\hat{N}_{\mu \sigma^2}=\int_{R}e^{ix\varepsilon}\frac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx$
la mia domanda è ma quella che lui chiama trasformata della distribuzione normale, non è invece la trasformata della densità?
credo di avere un po' di confusione al riguardo
Dagli appunti risulta che la trasformata della distribuzione normale è
$\hat{N}_{\mu \sigma^2}=\int_{R}e^{ix\varepsilon}\frac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx$
la mia domanda è ma quella che lui chiama trasformata della distribuzione normale, non è invece la trasformata della densità?
credo di avere un po' di confusione al riguardo
Risposte
Sui miei appunti la cosa è solo accennata e io sinceramente non ho indagato, quindi attendo interventi autorevoli.
Comunque da quello che so la funzione (di $\epsilon$) che hai scritto (che però io la conosco con $2\pi\sigma^2$ sotto radice) è in realtà la trasformata della misura avente $f$ come densità, mentre la funzione con il segno meno all'esponente della costante $e$ è invece la trasformata della $f$.
Comunque da quello che so la funzione (di $\epsilon$) che hai scritto (che però io la conosco con $2\pi\sigma^2$ sotto radice) è in realtà la trasformata della misura avente $f$ come densità, mentre la funzione con il segno meno all'esponente della costante $e$ è invece la trasformata della $f$.
"lolly28":
quella che lui chiama trasformata della distribuzione normale, non è invece la trasformata della densità?
Prima ipotesi: hai dimenticato una radice al denominatore dell'integranda (come accennava retrocomputer).
In questo caso il denominatore è \(\displaystyle \sqrt{2 \pi \sigma^2} \)
Se è così, non capisco la domanda: quella che hai scritto è la trasformata della densità normale.
Seconda ipotesi: il denominatore dell'integranda è \(\displaystyle 2\pi \sigma \). In questo caso può darsi che il tuo professore stia usando la definizione della trasformata di Fourier che prevede un pre-fattore \(\displaystyle 1/\sqrt{2\pi} \) sia nella trasformata che nell'anti-trasformata.
Terzo caso: il denominatore è proprio \(\displaystyle 2 \pi \sigma^2 \). Strano, non ha molto senso.
Quello che ti dico dovrebbe essere vero, ma verificalo perche non ricordo bene: (se ho capito bene la domanda, questo ti potrebbe risolvere i tuoi dubbi)
esiste un teorema che dice che: se io voglio fare la F-trasformata di una misura e questa misura ha una densità su $\mathbb{R}$ (cioè la misura si può scrivere come $\int (densità) dx $ ) , allora la F-trasformata della misura non è altro che la F-trasformata della densità.
esiste un teorema che dice che: se io voglio fare la F-trasformata di una misura e questa misura ha una densità su $\mathbb{R}$ (cioè la misura si può scrivere come $\int (densità) dx $ ) , allora la F-trasformata della misura non è altro che la F-trasformata della densità.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo