Distribuzione normale e probabilità
Salve a tutti, ecco un nuovo problema che ho provato a svolgere:
Una ditta produttrice di birra ne sperimenta un nuovo tipo e la fa provare a 300 persone assieme alla riceta vecchia. Poi viene chiesto ad ognuna delle 300 persone quale birra sia piaciuta di più. Gli esperti dell'azienda ritengono che non ci sia una sensibile differenza tra le due ricette e che quindi ogni persona sceglierà con uguale probabilità tra le due (P=0.5). Sia X il numero di persone, su 300, che preferisce la vecchia birra:
1) Indicare la distribuzione di X e calcolare E(X) e Var(X).
2) Calcolare in modo approssimato (usando la distribuzione normale) la probabilità che il numero di persone che preferisce la vecchia birra sia compreso tra 145 e 155 (estremi compresi)
1) Poichè la $P=0.5$ ci dobbiamo rifare alla distribuzione binomiale:
$E(X)=mu=n*p=300*0.5=150$
$Var(X)=sigma^2=n*p*q=300*0.5*0.5=75$
2) la distribuzione normale è
$1/sqrt(2*pi*sigma^2)*e^(-1/2*((x-mu)^2)/sigma^2)$ ma come faccio a trovare la probabilità che il numero di persone che preferisce la vecchia birra sia compreso tra 145 e 155 (estremi compresi)?
Una ditta produttrice di birra ne sperimenta un nuovo tipo e la fa provare a 300 persone assieme alla riceta vecchia. Poi viene chiesto ad ognuna delle 300 persone quale birra sia piaciuta di più. Gli esperti dell'azienda ritengono che non ci sia una sensibile differenza tra le due ricette e che quindi ogni persona sceglierà con uguale probabilità tra le due (P=0.5). Sia X il numero di persone, su 300, che preferisce la vecchia birra:
1) Indicare la distribuzione di X e calcolare E(X) e Var(X).
2) Calcolare in modo approssimato (usando la distribuzione normale) la probabilità che il numero di persone che preferisce la vecchia birra sia compreso tra 145 e 155 (estremi compresi)
1) Poichè la $P=0.5$ ci dobbiamo rifare alla distribuzione binomiale:
$E(X)=mu=n*p=300*0.5=150$
$Var(X)=sigma^2=n*p*q=300*0.5*0.5=75$
2) la distribuzione normale è
$1/sqrt(2*pi*sigma^2)*e^(-1/2*((x-mu)^2)/sigma^2)$ ma come faccio a trovare la probabilità che il numero di persone che preferisce la vecchia birra sia compreso tra 145 e 155 (estremi compresi)?
Risposte
Il primo mi sembra corretto.
La seconda domanda ti chiede $P(145<=X<=155)$
Dovresti innanzitutto standardizzare la X e poi utilizzare le tavole della funzione di ripartizione della normale standard...
La seconda domanda ti chiede $P(145<=X<=155)$
Dovresti innanzitutto standardizzare la X e poi utilizzare le tavole della funzione di ripartizione della normale standard...
La prima parte dunque va bene, la seconda è un problema perchè questi sono esercizi d'esame e non posso usare le tavole. Nella traccia comunque c'è scritto di calcolare in maniera approssimata....esiste qualche altro modo (cioè senza usare le tavole)?
"bius88":
non posso usare le tavole. Nella traccia comunque c'è scritto di calcolare in maniera approssimata....esiste qualche altro modo (cioè senza usare le tavole)?
Il modo non approssimato è quello di usare la binomiale $P(145)+P(146)+...+P(155)$
Il modo approssimato credo si riferisce proprio all'uso della normale, cioè approssimi la binomiale con una normale con la stessa media e varianza.
Senza tavole la vedo dura, a meno che non escano valori "noti", tipo $P(-1.96<=Z<=1.96)=95%$
Nel tuo caso non so, bisogna prima fare i conti e vedere che esce... intanto l'intervallo $[145,155]$ è centrato sulla media e questo è già una cosa a favore.
"cenzo":
Il modo approssimato credo si riferisce proprio all'uso della normale, cioè approssimi la binomiale con una normale con la stessa media e varianza.
Si la traccia lo dice chiaramente: "Calcolare la probabilità in modo approssimato (usando la distribuzione normale)" ma non ho idea d come si faccia...per caso è così:
$1/sqrt(2*pi)*\int_a^b e^((-z^2)/2)dx$ dove $a=145$, $b=155$, $z=(X-mu)/sigma$ ?
"bius88":
non ho idea d come si faccia...per caso è così:
$1/sqrt(2*pi)*\int_a^b e^((-z^2)/2)dx$ dove $a=145$, $b=155$, $z=(X-mu)/sigma$ ?
Non vorrai mica fare l'integrale delle pdf normale ?
Farei così (tenendo conto della "correzione di continuità"): $P(144.5<=X<=155.5)=P((144.5-mu)/sigma<=Z<=(155.5-mu)/sigma)$
$mu$ e $sigma$ li ha i già calcolati al punto 1. dell'esercizio, perciò li sostituisci e poi fai la differenza della funzione di ripartizione normale standard.
"cenzo":
Non vorrai mica fare l'integrale delle pdf normale ?
Farei così (tenendo conto della "correzione di continuità"): $P(144.5<=X<=155.5)=P((144.5-mu)/sigma<=Z<=(155.5-mu)/sigma)$
Si, effettivamente è molto meglio!
Dunque $P(144.5<=X<=155.5)=P((144.5-150)/sqrt(75)<=Z<=(155.5-150)/sqrt(75))=-0.635<=Z<=0.635$ Ma la probabilità qual è?
"bius88":
Dunque $P(144.5<=X<=155.5)=P((144.5-150)/sqrt(75)<=Z<=(155.5-150)/sqrt(75))=-0.635<=Z<=0.635$ Ma la probabilità qual è?
Non è difficile, forse hai qualche carenza di teoria sulla funzione di ripartizione. Ti consiglio di studiarla bene, è un concetto importante
$P(-0.635<=Z<=0.635)=F(0.635)-F(-0.635)=2*F(0.635)-1$
dove ho indicato con $F$ la funzione di ripartizione (la CDF) della normale standard.
Per calcolarne i valori puoi usare ad esempio le tavole.
Dovrebbe essere $F=0.35$ ma ho due problemi:
Sostituendo mi viene $2*0.35-1=-0.3$ ed è impossibile!
secondo problema è che senza le tavole (che all'esame non posso usare) non posso risolvere il problema...
"cenzo":
$P(-0.635<=Z<=0.635)=F(0.635)-F(-0.635)=2*F(0.635)-1$
Sostituendo mi viene $2*0.35-1=-0.3$ ed è impossibile!
secondo problema è che senza le tavole (che all'esame non posso usare) non posso risolvere il problema...
"bius88":
Dovrebbe essere $F=0.35$ ma ho due problemi:
Sostituendo mi viene $2*0.35-1=-0.3$ ed è impossibile!
secondo problema è che senza le tavole (che all'esame non posso usare) non posso risolvere il problema...
A me risulta $F(0.635)\sim0.737$, quindi viene una probabilità del $47.5%$ circa.
Senza tavole o programma non saprei come fare.. però mi sembra strano che non si possano usare le tavole all'esame.
A me le fecero usare, anzi saper usare le tavole penso sia un valore aggiunto
E' noto che $P(-1<=Z<=1)\sim0.68$, per cui senza tavole mi sarei aspettato un valore per $P(-0.635<=Z<=0.635)$ inferiore al 68% appunto, ma una stima precisa senza tavole non saprei farla.
"cenzo":
A me risulta $F(0.635)\sim0.737$, quindi viene una probabilità del $47.5%$ circa.
Si vero...ho sbagliato io a consultare la tavola!
Magari se arrivo a questo punto il valore può dirmelo anche il prof...
Grazie cenzo!
"bius88":
Magari se arrivo a questo punto il valore può dirmelo anche il prof...
Eh! spero bene non pretenda sappiate le tavole a memoria!
"bius88":
Grazie cenzo!
Prego, ciao.
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