Distribuzione media campionaria con statistica campionaria e campione grande

[Sk_Anonymous]

Sia

\(\bar{X} =\) media campionaria
\( \mu =\) media della popolazione
\( S =\) varianza campionaria
\(n=\) numero di individui nel campione
Il campione non è normalmente distribuito

Il mio libro (Statistica per l'ingegneria e le scienza by Ross) sostiene che, per \( n \to \infty \), per il teorema del limite centrale

\( \dfrac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{N}} \sim t_{n-1} \)

Come si dimostra?

Ho capito la dimostrazione che, per \( n \to \infty \), \( \bar{X} \sim N(\mu,\sigma^2/n) \), cioè che per \(n\) grande la media campionaria ha distribuzione normale

Adesso mi manca la seconda parte, cioè che:

\( (n-1) \dfrac{S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} \). Questa proprietà la conosco per un campione normale, ma non so applicare il teorema del limite centrale per ottenere che vale anche per campioni non normali con \( n \to \infty \)

[Lo_zio_Tom]

non penso siano conti molto semplici e non so se sono in grado di farli...

ma penso che la strada da percorrere sia la seguente:

1) considerare la successione

$Z_(n)=(n-1)S_(n)^2/sigma^2$

2) calcolare la funzione generatrice dei momenti di $Z_(n)$

$M_(Z_(n))(t)$


3) calcolare il limite

$lim_(n->oo)M_(Z_(n))(t)$ e verificare che tale limite converge alla fgm di una $chi_(n-1)^2$

[Sk_Anonymous]

Eh, mi sa che lo prendo per dato

Più che altro perchè il mio libro non dice esplicitamente che quella formula, oltre a valere per qualunque distribuzione normale, vale anche per campioni non normalmente distribuiti quando \( n \to \infty\). Semplicemente lo "implica" a un certo punto