Distribuzione lognormale
Una variabili casuali X ha distrib. di probabilità pari alla lognormale con valore atteso e varianza pari a $ E(X)=1.5 $, $ Var(X)=2 $. Calcolare la probabilità di superare il punto X=1.
Prendendo come modello una risposta di Tommik su un mio post ( https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=34&t=178393) sulla v.c. Weibull, ho posto che $ Y= ln(X) $ e quindi, per la distrib. lognormale, $ Y=ln(X) \sim N(1.5 , 2) $. Da qui ho scritto che $ P(Y>1)= P[ln(X)>1]=P(X>e) $. Utilizzando poi la standardizzazione usando i valori della varianza e del valore atteso mi è venuto $ P(Y>1)=0.1949 $. Giusto?
Prendendo come modello una risposta di Tommik su un mio post ( https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=34&t=178393) sulla v.c. Weibull, ho posto che $ Y= ln(X) $ e quindi, per la distrib. lognormale, $ Y=ln(X) \sim N(1.5 , 2) $. Da qui ho scritto che $ P(Y>1)= P[ln(X)>1]=P(X>e) $. Utilizzando poi la standardizzazione usando i valori della varianza e del valore atteso mi è venuto $ P(Y>1)=0.1949 $. Giusto?
Risposte
No, sbagliato!! Hai fatto molta confusione ( e forse studiato poco..)
Se X è lognormale e devi calcolare $P (X>1) $ è la variabile $Y=logX $ ad essere $N (mu;sigma^2) $
Quindi
$P (X>1)=P (Y>0) $
Ora sì che puoi standardizzare la $Y ~N (mu,sigma ^2) $ e usare le tavole della gaussiana std..
Il problema sta nel fatto che i parametri $mu $ e $sigma^2$ li devi ricavare da questo sistema (ovvero dalla media e varianza della lognormale )
${{: (e^(mu+sigma^2/2 )=1.5 ),( e^(2mu+2sigma^2)-e^(2mu+sigma^2)=2 ) :}$
Difficile? No dai, è un sistema da II liceo... Quindi direi problema risolto
Se X è lognormale e devi calcolare $P (X>1) $ è la variabile $Y=logX $ ad essere $N (mu;sigma^2) $
Quindi
$P (X>1)=P (Y>0) $
Ora sì che puoi standardizzare la $Y ~N (mu,sigma ^2) $ e usare le tavole della gaussiana std..
Il problema sta nel fatto che i parametri $mu $ e $sigma^2$ li devi ricavare da questo sistema (ovvero dalla media e varianza della lognormale )
${{: (e^(mu+sigma^2/2 )=1.5 ),( e^(2mu+2sigma^2)-e^(2mu+sigma^2)=2 ) :}$
Difficile? No dai, è un sistema da II liceo... Quindi direi problema risolto
Va bene...
guarda che è banale quel sistema da risolvere.... 
parti dalla prima equazione e trovi subito che $mu+sigma^2/2=log1.5$
sostituisci tale quantità nel secondo termine del pimo membro della seconda equazione....porti tale quantità al secondo mebro, estrai il logaritmo di entrambi i membri ed hai praticamente finito....
parti dalla prima equazione e trovi subito che $mu+sigma^2/2=log1.5$
sostituisci tale quantità nel secondo termine del pimo membro della seconda equazione....porti tale quantità al secondo mebro, estrai il logaritmo di entrambi i membri ed hai praticamente finito....
Sisi l'ho fatto... Sono scarso in statistica ma ti assicuro che i conti me li so fare
"Mandolino":
Sono scarso in statistica ma ti assicuro che i conti me li so fare
ne sono ben contento....dal tuo intervento laconico avevo inteso diversamente, sorry.
EDIT: tra l'altro spulciando qua e là ho trovato questo lavoro dove già ti precalcola i parametri della normale partendo dalla lognormale....
senza dover risolvere ogni volta il sistema. Ovviamente in entrambi i casi i conti tornano.
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