Distribuzione log-normale
Qualcuno di voi conosce la distribuzione log-normale? In pratica X è una V.A. con distribuzione log-normale se e solo se Y=ln(X) ha distribuzione normale. Bene, fin qui tutto ok. Adesso sorge il problema: la formula di distribuzione della log-normale è [formule] f(x)=(1/(sqrt(2*pi)+o^2)*e^(-(ln(x)-u)^2)/(2+o)[/formule]
Perchè? Davvero non riesco a capire come si ricavi quella formula, sono sicuro che per voi sarà un giochetto spiegarmelo
Dato che non so come inserire bene le formule metto l'immagine di wikipedia:
Perchè? Davvero non riesco a capire come si ricavi quella formula, sono sicuro che per voi sarà un giochetto spiegarmelo
Dato che non so come inserire bene le formule metto l'immagine di wikipedia:
Risposte
Nessuno sa niente?
In generale, per trovare la densitá di $Y = g(X)$, cioé di una trasformazione di una v.a. nota (in questo caso $X$ é la nostra v.a. gaussiana e la funzione $g$ rappresenta la funzione esponenziale) Si ricorre alla seguente formula:
$$f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \times \left| \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right |$$
Nel tuo caso specifico si ha che $g^{-1}(y) = log(y)$, la cui derivata é $1/y$. Sostituendo puoi trovare la densitá che stavi cercando (espressa in funzione di $y$, ma poco cambia...).
$$f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \times \left| \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right |$$
Nel tuo caso specifico si ha che $g^{-1}(y) = log(y)$, la cui derivata é $1/y$. Sostituendo puoi trovare la densitá che stavi cercando (espressa in funzione di $y$, ma poco cambia...).
"bassi0902":
In generale, per trovare la densitá di $Y = g(X)$, cioé di una trasformazione di una v.a. nota (in questo caso $X$ é la nostra v.a. gaussiana e la funzione $g$ rappresenta la funzione esponenziale) Si ricorre alla seguente formula:
$$f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \times \left| \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right |$$
Nel tuo caso specifico si ha che $g^{-1}(y) = log(y)$, la cui derivata é $1/y$. Sostituendo puoi trovare la densitá che stavi cercando (espressa in funzione di $y$, ma poco cambia...).
Grazie per la risposta, ma non ci ho capito molto
La derivata nella formula sarebbe questa? $$\frac{d}{dy}$$
Vediamo, in questo caso tu conosci $X$ e vuoi trovare la densitá di $Y = e^X$ giusto?
La tua trasformazione di variabili é $g(x) = e^x$, la sua funzione inversa é $g^{-1}(y) = log(y)$.
\[ f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \times \left| \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right | \]
In parole povere, per ottenere la densitá della $Y$ devi valutare la densitá di $X$ nel punto $log(y)$ e moltiplicare la funzione per il modulo della derivata (in questo caso la derivata di $log(y)$ é $1/y$, il modulo é omesso perché la v.a. puó assumere solo valori positivi, cioé $y > 0$).
La tua trasformazione di variabili é $g(x) = e^x$, la sua funzione inversa é $g^{-1}(y) = log(y)$.
\[ f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \times \left| \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right | \]
In parole povere, per ottenere la densitá della $Y$ devi valutare la densitá di $X$ nel punto $log(y)$ e moltiplicare la funzione per il modulo della derivata (in questo caso la derivata di $log(y)$ é $1/y$, il modulo é omesso perché la v.a. puó assumere solo valori positivi, cioé $y > 0$).
"bassi0902":
Vediamo, in questo caso tu conosci $X$ e vuoi trovare la densitá di $Y = e^X$ giusto?
La tua trasformazione di variabili é $g(x) = e^x$, la sua funzione inversa é $g^{-1}(y) = log(y)$.
\[ f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \times \left| \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right | \]
In parole povere, per ottenere la densitá della $Y$ devi valutare la densitá di $X$ nel punto $log(y)$ e moltiplicare la funzione per il modulo della derivata (in questo caso la derivata di $log(y)$ é $1/y$, il modulo é omesso perché la v.a. puó assumere solo valori positivi, cioé $y > 0$).
E quella formula dove riguarda solo le variabili aleatorie? Come si chiama questo tipo di trasformazione (nel senso, ha un nome quell'equazione)?
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