Distribuzione interessante
Sia F(x) la funzione di ripartizione della variabile casuale X di Cantor: http://it.wikipedia.org/wiki/Variabile_ ... _di_Cantor
Dimostrare che $W=F(X)$ ha distribuzione uniforme (0,1).
Dimostrare che $W=F(X)$ ha distribuzione uniforme (0,1).
Risposte
Cos'è la funzione di ripartizione? La CDF per caso?
"Kroldar":
Cos'è la funzione di ripartizione? La CDF per caso?
sì
"Piera":
Sia F(x) la funzione di ripartizione della variabile casuale X di Cantor: http://it.wikipedia.org/wiki/Variabile_ ... _di_Cantor
Dimostrare che $W=F(X)$ ha distribuzione uniforme (0,1).
Eppure lo trovo sorprendente! La CDF della variabile aleatoria in questione è la funzione di Cantor, dunque. Si chiede di dimostrare che la pdf è costante in $(0,1)$. Se tentiamo di costruire la funzione di Cantor come limite di una successione e ci fermiamo a un passo ben determinato, allora la pdf è sicuramente uniforme nell'insieme di Cantor. Passando però al limite e ottenendo la funzione di Cantor vera e propria, si ha che quest'ultima ha derivata nulla quasi ovunque. Ora, siccome la pdf è la derivata della CDF, si avrebbe una pdf nulla quasi ovunque, che tra l'altro non è una valida pdf perché non soddisfa l'assioma di normalizzazione. Uhm...
Gran bel quesito cmq!
Ti dirò di più Kroldar.
Sia X una v.a. continua con funzione di ripartizione F(x), allora F(X) è uniforme (0,1).
Il fatto che abbia considerato la distribuzione di Cantor è trascurabile ai fini dell'esercizio, conviene quindi ragionare in generale.
Sia X una v.a. continua con funzione di ripartizione F(x), allora F(X) è uniforme (0,1).
Il fatto che abbia considerato la distribuzione di Cantor è trascurabile ai fini dell'esercizio, conviene quindi ragionare in generale.
"Piera":
Ti dirò di più Kroldar.
Sia X una v.a. continua con funzione di ripartizione F(x), allora F(X) è uniforme (0,1).
Il fatto che abbia considerato la distribuzione di Cantor è trascurabile ai fini dell'esercizio, conviene quindi ragionare in generale.
No scusami, allora mi sa che non ho ben capito l'esercizio
Io ho capito questo:
si deve considerare una v.a. la cui CDF è la funzione di Cantor e si vuole dimostrare che la pdf di tale v.a. sia costante (e valga $1$) nell'intervallo $(0,1)$.
Ok capito il problema. Avevo fatto confusione tra $x$ e $X$.
Cerco di chiarire la cosa con un esempio.
Prendi una variabile X esponenziale di parametro a.
Si può essere interessati a determinare la distribuzione della variabile g(X).
Ad esempio g(x)= ln x.
Nell'esercizio ho considerato g(x)=F(x)
dove F(x) è la funzione che associa ad ogni x la P(X=0$.
E' facile vedere che la distribuzione di $1-e^(-aX)$ è uniforme (0,1).
Prendi una variabile X esponenziale di parametro a.
Si può essere interessati a determinare la distribuzione della variabile g(X).
Ad esempio g(x)= ln x.
Nell'esercizio ho considerato g(x)=F(x)
dove F(x) è la funzione che associa ad ogni x la P(X
E' facile vedere che la distribuzione di $1-e^(-aX)$ è uniforme (0,1).
Credo che la confusione sia nata da una mia abitudine a una certa simbologia.
In ogni caso, a proposito del problema più generale da te proposto, ho provato a ricorrere al teorema fondamentale sulle trasformazioni di v.a.
Presa una v.a. continua generica $X$, vogliamo dimostrare che la pdf della variabile aleatoria $F(X)$ (dove $F(.)$ è la funzione di Cantor) è costante e vale $1$ nell'intervallo $(0,1)$ e vale altresì costantemente $0$ altrove.
Detta $Y=F(X)$, per valori di $y$ minori di $0$ o maggiori di $1$, l'equazione $y=F(x)$ non ha soluzione, quindi la pdf di $Y$ è sicuramente nulla per $y<0$ e $y>1$.
Ora bisogna dimostrare che per $0
In ogni caso, a proposito del problema più generale da te proposto, ho provato a ricorrere al teorema fondamentale sulle trasformazioni di v.a.
Presa una v.a. continua generica $X$, vogliamo dimostrare che la pdf della variabile aleatoria $F(X)$ (dove $F(.)$ è la funzione di Cantor) è costante e vale $1$ nell'intervallo $(0,1)$ e vale altresì costantemente $0$ altrove.
Detta $Y=F(X)$, per valori di $y$ minori di $0$ o maggiori di $1$, l'equazione $y=F(x)$ non ha soluzione, quindi la pdf di $Y$ è sicuramente nulla per $y<0$ e $y>1$.
Ora bisogna dimostrare che per $0
Confermo.
Assumere, per semplicità, F strettamente crescente,
quindi invertire...
Soluzione
Assumere, per semplicità, F strettamente crescente,
quindi invertire...
Soluzione
Ottima soluzione! 
Troppo gentile Kroldar.
In realtà, questo è un risultato noto di Prob., F(X) è detta trasformazione integrale di X, e mi sono solo limitato a riportare la dimostrazione.
In realtà, questo è un risultato noto di Prob., F(X) è detta trasformazione integrale di X, e mi sono solo limitato a riportare la dimostrazione.
"Piera":Si, si... Fai il modesto... Sai il mondo tu di probabilità...
Troppo gentile Kroldar.
In realtà, questo è un risultato noto di Prob., F(X) è detta trasformazione integrale di X, e mi sono solo limitato a riportare la dimostrazione.
E che ci facciamo svegli a quest'ora?!
No no... Non va bene così...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo