Distribuzione geometrica e Teorema di Bernoulli
Ciao a tutti, sto cercando di risolvere il punto A di questo esercizio, ma lo scrivo tutto nel caso mi venissero dei dubbi più tardi sul resto.
Correggetemi se sbaglio, ottenere 2 successi in 5 prove si può tradurre con la formula di Bernoulli in:
\(\displaystyle 5!/2!3!*p^2*(1-p)^3\) ovvero \(\displaystyle 10p^2(1-p)^3 \)
mentre avere il primo successo alla terza prova, significa avere una distribuzione geometrica e quindi: \(\displaystyle p(1-p)^2 \).
A questo punto imposto la disequazione \(\displaystyle 10p^2(1-p)^3 > p(1-p)^2\), ma a meno che non stia facendo un grossolano errore, arrivo alla soluzione p>1...cosa significa?
Potreste anche darmi un suggerimento per il punto b?
Così continuo l'esercizio e se ho qualche dubbio non apro altri post.
Grazie mille
Si consideri una successione di prove indipendenti di tipo successo-insuccesso, ognuna
con probabilità di successo pari a p.
a) Quanto deve valere p affinché la probabilità di avere il primo successo alla terza prova sia maggiore di quella di ottenere 2 successi in 5 prove?
b) Siano X1 e X2 le v.a. che danno rispettivamente gli istanti di primo e secondo successo.
Quanto deve valere p affinché
\(\displaystyle P(X1 + X2 = 6) = p^2*(1 − p)? \)
c) Un osservatore vede solo il numero di successi di un esperimento di tipo successo/insuccesso. I risultati dell’esperimento possono provenire in egual misura da una sorgente X che genera 4 prove o da una sorgente Y che genera 3 prove.
In entrambi i casi ogni prova ha probabilità di successo pari a p.
Supponiamo che l’osservatore veda 2 successi. Qual è la probabilità che i dati provengano da X?
Correggetemi se sbaglio, ottenere 2 successi in 5 prove si può tradurre con la formula di Bernoulli in:
\(\displaystyle 5!/2!3!*p^2*(1-p)^3\) ovvero \(\displaystyle 10p^2(1-p)^3 \)
mentre avere il primo successo alla terza prova, significa avere una distribuzione geometrica e quindi: \(\displaystyle p(1-p)^2 \).
A questo punto imposto la disequazione \(\displaystyle 10p^2(1-p)^3 > p(1-p)^2\), ma a meno che non stia facendo un grossolano errore, arrivo alla soluzione p>1...cosa significa?
Potreste anche darmi un suggerimento per il punto b?
Così continuo l'esercizio e se ho qualche dubbio non apro altri post.
Grazie mille
Risposte
"Orion7":
....ma a meno che non stia facendo un grossolano errore, arrivo alla soluzione p>1...cosa significa?
più di un grosso errore, anche il verso della disequazione è in contrasto con quanto richiesto dal testo postato... forse prima di postare per chiedere aiuto riprovare una corretta aritmetica aiuterebbe
$p(1-p)^2>10p^2(1-p)^3$
significa
$10p^2-10p+1>0$
che è vera quando
$p in(0,(2-sqrt(15))/10) uu ((2+sqrt(15))/10;1)$
"Orion7":
....Potreste anche darmi un suggerimento per il punto b?
b)... omissis... ha ragione @ghira, ho male interpretato il testo.
c) basta usare la definizione di probabilità condizionata
"Orion7":
b) Siano X1 e X2 le v.a. che danno rispettivamente gli istanti di primo e secondo successo.
Quanto deve valere p affinché
\(\displaystyle P(X1 + X2 = 6) = p^2*(1 − p)? \)
Non ci sono molte combinazioni possibili.
$X1$ non può essere maggiore di 2. Se fosse almeno 3, $X2$ sarebbe almeno 4 e $X1+X2$ sarebbe almeno 7.
Quindi abbiamo solo $pqqqp$ e $qpqp$.
"tommik":
[quote="Orion7"]....ma a meno che non stia facendo un grossolano errore, arrivo alla soluzione p>1...cosa significa?
più di un grosso errore, anche il verso della disequazione è in contrasto con quanto richiesto dal testo postato... forse prima di postare per chiedere aiuto riprovare una corretta aritmetica aiuterebbe
$p(1-p)^2>10p^2(1-p)^3$
significa
$10p^2-10p+1>0$
che è vera quando
$p in(0,(2-sqrt(15))/10) uu ((2+sqrt(15))/10;1)$
"Orion7":
....Potreste anche darmi un suggerimento per il punto b?
b)... omissis... ha ragione @ghira, ho male interpretato il testo.
c) basta usare la definizione di probabilità condizionata[/quote]
Certo che sei proprio antipatico, io ce la sto mettendo tutta e una svista può capitare a chiunque...
Vabbè comunque grazie per l'aiuto, ho sbagliato a scrivere la disequazione ovviamente perché ho copiato e incollato in ordine sbagliato, ma l'avevo scritta giusta sul quaderno.
L'errore era molto più grave quanto stupido, cioè è stata una svista, ho semplificato e poi nel rigo sotto non ho riportato l'1 al posto di quel termine, perciò mi ritrovavo \(\displaystyle 10p^2−10p>0 \) senza il +1.
Per quanto riguarda il punto b, non ci ho capito niente, ma ancora non ho affrontato bene l'argomento delle variabili aleatorie e questo tipo di esercizi. Potreste spiegarmi cosa significano X1 e X2? Che significa che danno gli istanti di primo e secondo successo?
Infine per il punto 3 io so che
\(\displaystyle P(A)=P(B)=1/2 \) probabilità che venga scelta l'urna A (oppure B)
\(\displaystyle P(SA)=P(SB)=p \) probabilità di successo pescando da A (oppure B)
Non so come continuare, perché penso che una volta estratto il primo successo da A, come faccio a sapere la probabilità condizionata del secondo successo? E anche se la conoscessi, dovrei moltiplicarla per P(A) per avere una probabilità totale?
Sono molto confuso...perdonate le castronerie
"tommik":
$p in(0,(2-sqrt(15))/10) uu ((2+sqrt(15))/10;1)$
Ma $\sqrt{15}$ non è maggiore di 2? Il primo intervallo salta.
"Orion7":
Per quanto riguarda il punto b, non ci ho capito niente, ma ancora non ho affrontato bene l'argomento delle variabili aleatorie e questo tipo di esercizi. Potreste spiegarmi cosa significano X1 e X2?
Hai detto: "Siano X1 e X2 le v.a. che danno rispettivamente gli istanti di primo e secondo successo."
La mia risposta non va bene?
"Orion7":
Che significa che danno gli istanti di primo e secondo successo?
Se il primo successo è al primo tentativo, $X1=1$.
"Orion7":[/quote]
Che significa che danno gli istanti di primo e secondo successo?
[quote="ghira"]
Se il primo successo è al primo tentativo, $X1=1$.
Grazie mille, questo concetto di base proprio non l'avevo capito...
Ma come si va avanti con questo punto b? Non capisco
"Orion7":[/quote]
[quote="Orion7"]
Che significa che danno gli istanti di primo e secondo successo?
[quote="ghira"]
Se il primo successo è al primo tentativo, $X1=1$.
Grazie mille, questo concetto di base proprio non l'avevo capito...
Ma come si va avanti con questo punto b? Non capisco
[/quote]La mia risposta non va bene?
"tommik":
$p in(0,(5-sqrt(15))/10) uu ((5+sqrt(15))/10;1)$
"ghira":
Ma $\sqrt{15}$ non è maggiore di 2? Il primo intervallo salta.
era un typo. i valori corretti sono quelli che ho quotato; (0;0.11) e (0.89;1).
PER FAVORE, evitate ogni volta che rispondete di citare tutti i messaggi precedenti in modo nidificato...gestite le citazioni in modo leggible, soprattutto te, Orion7
e soprattutto evita questi commenti personali in pubblico.
"Orion7":
certo che sei proprio antipatico
nel senso che: puoi pensare ciò che ti pare ma te lo devi tenere per te. Antipatico o meno sono il moderatore della stanza... spero di essermi spiegato. Ricorda inoltre che: se le persone che pensano male di me sapessero cosa io penso di loro, di me penserebbero ancora peggio.
"tommik":
... Ricorda inoltre che: se le persone che pensano male di me sapessero cosa io penso di loro, di me penserebbero ancora peggio.
"ghira":
La mia risposta non va bene?
Perdonami, capisco il ragionamento che hai scritto, ma non so come sfruttarlo per trovare la soluzione.
Il problema mi chiede quanto deve valere p perché sia vero P(X1+X2=6)=...
Cosa dovrei fare?
"Orion7":
Perdonami, capisco il ragionamento che hai scritto
Che ragionamento ho scritto? Quando dici "capisco il ragionamento", cosa intendi? Davvero non credo di aver detto nulla di profondo. Non ti sorprendi se ti dico che la mia prima visita a Milano è stata prima della mia seconda visita a Milano, spero.
"Orion7":
ma non so come sfruttarlo per trovare la soluzione.
Il problema mi chiede quanto deve valere p perché sia vero P(X1+X2=6)=...
Cosa ti manca per usare quello che ho scritto per trovare $p$?
[hide="."]
A saperlo te l'avrei già chiesto, no?
Non capisco cosa dovrei fare.
Io ci sto sbattendo la testa tutto il giorno su questi problemi, per arrivare a chiedere aiuto su un forum significa che le ho provate tutte, quindi per favore evitate queste specie di prese in giro
Non c'è bisogno di fare i "superiori" e far sentire gli altri stupidi.
Non sono uno che vuole la pappa pronta, voglio semplicemente capire cosa devo fare, se mi chiedi cosa mi manca cosa devo risponderti?
Non ne ho la più pallida idea, se lo sapessi non sarei qui o te lo avrei chiesto esplicitamente, non è ovvio?[/hide]
off topic, hidden
"ghira":
Cosa ti manca per usare quello che ho scritto per trovare $p$?
A saperlo te l'avrei già chiesto, no?
Non capisco cosa dovrei fare.
Io ci sto sbattendo la testa tutto il giorno su questi problemi, per arrivare a chiedere aiuto su un forum significa che le ho provate tutte, quindi per favore evitate queste specie di prese in giro
"ghira":
Non ti sorprendi se ti dico che la mia prima visita a Milano è stata prima della mia seconda visita a Milano, spero.
Non c'è bisogno di fare i "superiori" e far sentire gli altri stupidi.
Non sono uno che vuole la pappa pronta, voglio semplicemente capire cosa devo fare, se mi chiedi cosa mi manca cosa devo risponderti?
Non ne ho la più pallida idea, se lo sapessi non sarei qui o te lo avrei chiesto esplicitamente, non è ovvio?[/hide]
off topic, hidden
"ghira":
Cosa ti manca per usare quello che ho scritto per trovare $p$?
Credo di aver capito, correggimi se sbaglio.
Devo sostituire nell'equazione
\(\displaystyle P(X_1+X_2=6)=p^2(1-p) \)
\(\displaystyle P(X_1+X_2=6) \) con \(\displaystyle pqqqp+qpqp \)
In questo modo alla fine ottengo l'equazione \(\displaystyle q^2+q-1=0 \)
che ha soluzione \(\displaystyle q=0,62 \)
Quindi per trovare la \(\displaystyle p \) devo fare \(\displaystyle 1-q \)
Il risultato è \(\displaystyle p=0,38 \).
Per quanto riguarda il punto c invece, sono bloccato.
\(\displaystyle P(X) \) = probabilità che un risultato provenga da X (oppure dovrei considerare 2 risultati?)
\(\displaystyle P(2S) \) = probabilità di ottenere 2 successi
\(\displaystyle P(X|2S) \) = probabilità che i 2 successi provengano da X
Secondo la formula della probabilità condizionata:
\(\displaystyle P(X|2S)=\frac{P(2S\cap X)}{P(2S)}=\frac{P(2S)*P(X)}{P(2S)} \)
C'è qualcosa che sbaglio ogni volta che uso questa formula.
In più ho il dubbio su quel P(X), che non so se dovrebbe essere la probabilità che un risultato provenga da X oppure che 2 risultati provengano da X.
Forse dovrei calcolare la probabilità \(\displaystyle P(X|S) \) che un successo provenga da X e moltiplicarla per sé stessa (\(\displaystyle P(X|S\cap X|S) \), ma anche in quel caso nella formula
\(\displaystyle P(X|S)=\frac{P(S\cap X)}{P(S)}=\frac{P(S)*P(X)}{P(S)} \)
perché scrivo P(X) e non P(X|S)?
E perché mi ritrovo a poter semplificare P(S) tra numeratore e denominatore?
Insomma qualcosa non mi è chiara
"Orion7":
Devo sostituire nell'equazione
\(\displaystyle P(X_1+X_2=6)=p^2(1-p) \)
\(\displaystyle P(X_1+X_2=6) \) con \(\displaystyle pqqqp+qpqp \)
In questo modo alla fine ottengo l'equazione \(\displaystyle q^2+q-1=0 \)
che ha soluzione \(\displaystyle q=0,62 \)
Quindi per trovare la \(\displaystyle p \) devo fare \(\displaystyle 1-q \)
Il risultato è \(\displaystyle p=0,38 \).
Il metodo è quello. Non ho controllato i conti o il valore finale.
"Orion7":
Per quanto riguarda il punto c invece, sono bloccato.
\(\displaystyle P(X) \) = probabilità che un risultato provenga da X (oppure dovrei considerare 2 risultati?)
"Un risultato" cos'è? Riceviamo i numeri di successi in 4 ($X$) o 3 ($Y$) prove.
"Orion7":
\(\displaystyle P(2S) \) = probabilità di ottenere 2 successi
OK
"Orion7":
\(\displaystyle P(X|2S)=\frac{P(2S\cap X)}{P(2S)}=\frac{P(2S)*P(X)}{P(2S)} \)
Non guardo oltre.
Perché dici "$P(2S\cap X)=P(2S)*P(X)$"? Magari per alcuni valori di $p$ è vero ma in generale
mi sembra inverosimile. Se dovesse essere vero lo dimostrerei se fossi in te. (E non è vero in generale.)
"ghira":
"Un risultato" cos'è? Riceviamo i numeri di successi in 4 (X) o 3 (Y) prove.
Un risultato come dice la traccia, è un successo/insuccesso che può provenire da una sorgente X o una sorgente Y, le quali generano rispettivamente 4 e 3 prove.
"ghira":
Perché dici "$P(2S\cap X)=P(2S)*P(X)$"? Magari per alcuni valori di $p$ è vero ma in generale
mi sembra inverosimile. Se dovesse essere vero lo dimostrerei se fossi in te. (E non è vero in generale.)
Non so che dirti, ho applicato la formula:
\(\displaystyle P(A\cap B)=P(A)*P(B|A) \) per eventi dipendenti
\(\displaystyle P(A\cap B)=P(A)*P(B) \) per eventi indipendenti, dato che \(\displaystyle P(B|A)=P(B) \)
Questa formula è sbagliata?
Potresti dirmi più chiaramente come si risolve questo punto?
Grazie
"Orion7":
Un risultato come dice la traccia, è un successo/insuccesso che può provenire da una sorgente X o una sorgente Y, le quali generano rispettivamente 4 e 3 prove.
La traccia dice "Un osservatore vede solo il numero di successi"
"Orion7":
[quote="ghira"]Perché dici "$P(2S\cap X)=P(2S)*P(X)$"? Magari per alcuni valori di $p$ è vero ma in generale
mi sembra inverosimile. Se dovesse essere vero lo dimostrerei se fossi in te. (E non è vero in generale.)
Non so che dirti, ho applicato la formula:
\(\displaystyle P(A\cap B)=P(A)*P(B|A) \) per eventi dipendenti
\(\displaystyle P(A\cap B)=P(A)*P(B) \) per eventi indipendenti, dato che \(\displaystyle P(B|A)=P(B) \)
Questa formula è sbagliata?
[/quote]
No.
"Orion7":
Potresti dirmi più chiaramente come si risolve questo punto?
Grazie
Sto cercando di dirti che $X$ e $2S$ non sono indipendenti.
"ghira":
Sto cercando di dirti che $X$ e $2S$ non sono indipendenti.
Il problema rimane perché anche se modifico non ha senso
\(\displaystyle P(X|2S)=\frac{P(2S\cap X)}{P(2S)}=\frac{P(2S)*P(X|2S)}{P(2S)} \)
Non riesco a capire..
"Orion7":
[quote="ghira"]Sto cercando di dirti che $X$ e $2S$ non sono indipendenti.
Il problema rimane perché anche se modifico non ha senso
\(\displaystyle P(X|2S)=\frac{P(2S\cap X)}{P(2S)}=\frac{P(2S)*P(X|2S)}{P(2S)} \)
Non riesco a capire..[/quote]
Modifica diversamente.
"ghira":
Modifica diversamente.
Molto utile questa risposta
No sul serio, la formula che ho è quella, non posso mica inventarmene una, sai dirmi come si fa?
"Orion7":
[quote="ghira"]Modifica diversamente.
Molto utile questa risposta
[/quote]
Lo so!
"Orion7":
No sul serio, la formula che ho è quella, non posso mica inventarmene una, sai dirmi come si fa?
Te l'ho già detto in una delle mie risposte precedenti.
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