Distribuzione geometrica e numero di tiri

[fbafkis]

Salve! Mi è stato assegnato un problema che credo preveda l'utilizzo per una risoluzione semplice, della distribuzione geometrica, che non abbiamo ancora affrontato a lezione ma ho cercato ugualmente di capire risolvendo proprio questo esercizio. Il testo è questo:

Un arciere ha una probabilità pari a 0.23 di colpire una mela alla distanza di 121 metri. Si è interessati a studiare il fenomeno “l'arciere colpisce la mela, per la prima volta, all'n-esimo tentativo” sotto l'assunzione che ogni tentativo sia indipendete (stocasticamente) dai precedenti.

[*:29zaamhc]Qual è la probabilità che egli colpisca la mela al 7 tentativo?[/*:m:29zaamhc]
[*:29zaamhc]Qual è la probabilità che siano necessari più di 3 tentativi?[/*:m:29zaamhc]
[*:29zaamhc]Quanti tentativi deve fare per avere una probabilità almeno pari a 0.8 di colpire almeno una volta la mela?[/*:m:29zaamhc][/list:u:29zaamhc]

[*:29zaamhc]Al primo quesito ho risposto semplicemente applicando la definizione di distribuzione geometrica, cioè:

$Pr(X=n)=(1-Pr)^{n-1}*Pr$ dove la mia $Pr=0,23$. Quindi:
$Pr(X=7)=(0,77)^6*0,23=0,0479$
[/*:m:29zaamhc]
[*:29zaamhc]Al secondo quesito, e qui ho dei dubbi, ho pensato di applicare la distribuzione geometrica ai primi 3 tentativi, e poi sommare i risultati. La risposta al quesito, ovvero la probaibilità che servano più di 3 tiri, dovrebbe essere il complementare di quell'unione di eventi (e quindi di somma di probabilità essendo essi incompatibili):

$Pr(X=1)=0,23$
$Pr(X=2)=0,177$
$Pr(X=3)=0,136$

Quindi $Pr({X=3} \cup{X=2}\cup{X=1})= 0,23+0,177+0,136=0,543$. La risposta dovrebbe essere $Pr(X>3)=1-0,543=0,457$
[/*:m:29zaamhc]
[*:29zaamhc]All'ultimo quesito invece ho risposto calcolando le probabilità per i primi $n$ tentativi, fino a che la somma di esse dava almeno 0,8. Nel mio caso:

$Pr(X=1)=0,23$
$Pr(X=2)=0,177$
$Pr(X=3)=0,136$
$Pr(X=4)=0,105$
$Pr(X=5)=0,080$
$Pr(X=6)=0,062$ Somma fin qui: $0,79$
$Pr(X=7)=0,048$ Somma fin qui: $0,838$

Quindi ho dedotto che il numero di tiri necessari è $7$. [/*:m:29zaamhc][/list:u:29zaamhc]

Grazie mille per i pareri e le eventuali correzioni!

[Lo_zio_Tom]

sei decisamente sveglio.....diciamo che è tutto ok ma vorrei uno sfozo maggiore per il terzo punto, che si può risolvere benissimo con una semplicissima (e sottolineo semplicissima) disequazione esponenziale

se non riesci bussa....

Ti ho scritto anche questo; puoi provare, anche se il livello di difficoltà è un po' più alto

[fbafkis]

Grazie per il complimento, qualche dubbio al riguardo Sì, appunto, ovviamente (sono fuso oggi pomeriggio scusa) si può risolvere con $(0,77)^{x}=(0,8)/(0,23)=3,478$ che diventa $x=log_0.77(3,478)$, giusto?
Più che altro col metodo brutale ottengo direttamente una risposta secca, senza dover arrotondare il numero di tiri. Dopo provo anche l'esercizio che mi hai proposto!

[Lo_zio_Tom]

"fbafkis":

Quanti tentativi deve fare per avere una probabilità almeno pari a 0.8 di colpire almeno una volta la mela?

è come dire "come deve fare per avere al massimo una probabilità di 0.2 di non colpirla mai?

Quindi

$0.77^n<=0.2$

$n>=(log0.2)/(log0.77)=ceil(6.2)=7$

la prima soluzione che hai trovato è corretta ma troppo naïf....non si può vedere....IMHO

[caramelleamare]

"tommik":sei decisamente sveglio.....diciamo che è tutto ok ma vorrei uno sfozo maggiore per il terzo punto, che si può risolvere benissimo con una semplicissima (e sottolineo semplicissima) disequazione esponenziale

se non riesci bussa....

Ti ho scritto anche questo; puoi provare, anche se il livello di difficoltà è un po' più alto

Ciao, mi intrometto.
Io ho risolto con una strada diversa, che non richiede la definizione di distribuzione geometrica visto che appunto non è stata fatta. Ho pensato semplicemente che riuscire dopo n tentativi vuol dire fallire per n tentativi e che trattandosi di eventi indipendenti, $Pr(AnnB)=Pr(A)*Pr(B)$, quindi $Pr(A_n)=Pr(\bar{A_1})*Pr(\bar{A_2})*Pr(\bar{A_3})*Pr(\bar{A_4}) = Pr(\bar{A})^n$

Per il primo quesito altro non devo fare che aggiungere l'intersezione con la $Pr(A_5)$.

Mentre per il terzo ho scritto l'equazione $Pr(A_n)=Pr(\bar{A_1})*Pr(\bar{A_2})*Pr(\bar{A_3})*Pr(\bar{A_4}) <= X$ allora ricavo il valore con il logaritmo: $log_\bar{A}X$

Se non erro giungiamo allo stesso punto.

[caramelleamare]

In realtà la mia terza domanda era posta in modo diverso, per la precisione:

Quante volte dovrebbe tirare il giocatore in modo da avere una probabilità inferiore o uguale al 16% di perdere in tutte le giocate effettuate?

Per questo ho scritto l'equazione in quel modo, ma non so se è corretto.

[Lo_zio_Tom]

Dunque @caramelleamare...per questa volta va così...ma la prossima volta ti censuro il messaggio. Se hai un quesito da porre fai il santo piacere di postare un topic tutto tuo con annessa bozza di soluzione, altrimenti crei sono confusione nella stanza. Se poi il quesito, come tu stesso puoi vedere, è praticamente lo stesso, potresti trarre le dovute conclusioni senza dover interferire in un topic altrui

Se nel tuo caso è " calcolare ecc ecc affinche la probabiltà di perdere tutte le mani sia minore del 16% basta evidentemente fare

$q^n<=0.16$ da cui $n>=(log0.16)/(logq)= ceil((log0.16)/(logq))$

dove $q$ è la probabilità di perdere e dove $ceil()$ è la funzione ceiling

[caramelleamare]

Intanto grazie per la risposta.
Credevo fosse controproducente creare un topic specifico per una domanda praticamente identica salvo un dettaglio e che preferiste, dove possibile, sfruttare quelli già presenti.
Per quanto riguarda la bozza di soluzione, va da se che tutte le premesse erano già fatte e non avendo nulla da obiettare non sono ripartito da zero.
Ad ogni modo cosa ho fatto e perché, in modo sintetico, l'ho scritto. E l'ho scritto perché m'è sembrata una proposta di soluzione diversa da quella di fbafkis che avesse senso per il topic.