Distribuzione geometrica

[frons79]

Il numero X di tentativi che occorre effettuare prima di ottenere un pezzo che superi alcuni test di alta qualità è descritto dalla distribuzione Geometrica:\[\displaystyle x= \begin{cases}
x=0, 1, 2, ... \\
p(x; \theta)= \theta(1- \theta)^x&&0<\theta<1 \end{cases} \]
Disponendo del campione casuale:\[\displaystyle x_1=1, x_2=3, x_3=2, x_4=2 \] stimare, usando il metodo della massima verosimiglianza, il parametro $\theta$

In pratica il testo del problema spiega in maniera piuttosto chiara, come procedere.
Ottenendo la funzione di log-verosimiglianza, da massimizzare successivamente: \[\displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
l(x;\theta) &=\sum ln(\theta (1- \theta)^{x_i}) \\
&=\sum ln(\theta) + \sum ln(1- \theta)^{x_i} \\
&=Nln(\theta)+ \sum x_i ln(1-\theta) \\
&=Nln(\theta)+ln(1-\theta) \sum x_i
\end{split}
\end{equation}\]
A questo punto, pensavo di poterne uguagliare la derivata prima a zero per trovare poi il valore del parametro incognito:
\[\displaystyle \frac{dl(x;\theta)}{d\theta} =\frac{N}{\theta} + \frac{1}{\theta -1} \sum x_i \]
Ma a questo punto, per il sottoscritto, cala il sipario.
Mi aiutate su come procedere nei passaggi successivi?

[frons79]

C'ero quasi. Grazie