Distribuzione Gaussiana secondo Herschel
Ciao a tutti, mi sono inceppato in una parte sulla dimostrazione di come si ricavi una distribuzione Gaussiana partendo dai due seguenti postulati. Supposto di essere interessati agli errori di una misura nella posizione di una stella, fissiamo un riferimento cartesiano XY nella posizione vera della stella.
Postulato 1: gli errori su x ed y sono indipendenti e seguono la stessa funzione di distribuzione, cioè la densità di probabilità della posizione misurata si può fattorizzare come:
\[ p(x,y)dxdy = \phi(x)\phi(y)dxdy \]
passando in polari:
\[ p(x,y)dxdy =\psi(r,\theta)rdrd\theta \]
Postulato 2: la funzione di distribuzione è indipendente dall'angolo \( \theta \), dunque
\[ \phi(x)\phi(y) = \psi(\sqrt{x^2 + y^2}) \]
posto y=0 si ottiene \( \phi(x)\phi(0) = \psi(x) \) e possiamo riscrivere \[ \phi(x)\phi(y) = \phi(\sqrt{x^2 + y^2})\phi(0) \]
dividendo per il quadrato di \(\phi(0)\) e passando ai logaritmi otteniamo \[ ln(\frac{\phi(x)}{\phi(0)}) + ln(\frac{\phi(y)}{\phi(0)}) = ln(\frac{\phi(\sqrt{x^2 + y^2})}{\phi(0)}) \]
I miei dubbi partono da qui. Innanzitutto come si giustifica l'intuizione del passaggio al logaritmo?
Andando avanti, il libro dice che la relazione è vera se e solo se \[ ln(\frac{\phi(x)}{\phi(0)}) = cx^2 \] Per quale motivo deve essere uguale a \(cx^2\)?
Infine otteniamo che deve essere \[ \phi(x) =\phi(0)e^{cx^2} \]
Per quale motivo in quest'ultima relazione, che dovrebbe rappresentare una distribuzione di Gauss con media nulla, \(c\) deve essere negativo? e \(\phi(0)\) cosa rappresenta, il fatto che la media è 0? Spero che qualcuno abbia voglia di aiutarmi, ringrazio in anticipo!
Postulato 1: gli errori su x ed y sono indipendenti e seguono la stessa funzione di distribuzione, cioè la densità di probabilità della posizione misurata si può fattorizzare come:
\[ p(x,y)dxdy = \phi(x)\phi(y)dxdy \]
passando in polari:
\[ p(x,y)dxdy =\psi(r,\theta)rdrd\theta \]
Postulato 2: la funzione di distribuzione è indipendente dall'angolo \( \theta \), dunque
\[ \phi(x)\phi(y) = \psi(\sqrt{x^2 + y^2}) \]
posto y=0 si ottiene \( \phi(x)\phi(0) = \psi(x) \) e possiamo riscrivere \[ \phi(x)\phi(y) = \phi(\sqrt{x^2 + y^2})\phi(0) \]
dividendo per il quadrato di \(\phi(0)\) e passando ai logaritmi otteniamo \[ ln(\frac{\phi(x)}{\phi(0)}) + ln(\frac{\phi(y)}{\phi(0)}) = ln(\frac{\phi(\sqrt{x^2 + y^2})}{\phi(0)}) \]
I miei dubbi partono da qui. Innanzitutto come si giustifica l'intuizione del passaggio al logaritmo?
Andando avanti, il libro dice che la relazione è vera se e solo se \[ ln(\frac{\phi(x)}{\phi(0)}) = cx^2 \] Per quale motivo deve essere uguale a \(cx^2\)?
Infine otteniamo che deve essere \[ \phi(x) =\phi(0)e^{cx^2} \]
Per quale motivo in quest'ultima relazione, che dovrebbe rappresentare una distribuzione di Gauss con media nulla, \(c\) deve essere negativo? e \(\phi(0)\) cosa rappresenta, il fatto che la media è 0? Spero che qualcuno abbia voglia di aiutarmi, ringrazio in anticipo!
Risposte
"Shikari":
I miei dubbi partono da qui. Innanzitutto come si giustifica l'intuizione del passaggio al logaritmo?
E' una tecnica molto utlizzata in Statistica e mi sembra strano tu non l'abbia ancora trovata, dato che è usatissima
"Shikari":
Andando avanti, il libro dice che la relazione è vera se e solo se \[ ln(\frac{\phi(x)}{\phi(0)}) = cx^2 \] Per quale motivo deve essere uguale a \(cx^2\)?
L'equazione che stai cercando di risolvere è un'equazione funzionale (ovvero una generalizzazione delle equazioni differenziali dove al posto delle derivate puoi trovare una qualsiasi funzione). Nell'equazione in oggetto che la soluzione generale sia quella è piuttosto ovvio[nota]però mi sembra strano che tu debba studiare un argomento del genere senza aver prima studiato le equazioni funzionali. Un testo fondamentale sulle equazioni funzionali è quello di J Aczél[/nota], dato che la funzione calcolata in $x$ sommata alla funzione calcolata in $y$ deve essere funzione di $x^2+y^2$
"Shikari":
Infine otteniamo che deve essere \[ \phi(x) =\phi(0)e^{cx^2} \]
Per quale motivo in quest'ultima relazione, che dovrebbe rappresentare una distribuzione di Gauss con media nulla, \(c\) deve essere negativo? e \(\phi(0)\) cosa rappresenta, il fatto che la media è 0? Spero che qualcuno abbia voglia di aiutarmi, ringrazio in anticipo!
Questo è davvero ovvio: se la funzione che hai trovato deve essere una distribuzione, il suo integrale deve convergere ed essere $=1$. Se $c>0$ l'integrale diverge.
$phi(0)$ è il solito parametro di normalizzazione. Imponendo che $int_(-oo)^(+oo)f(x)dx=1$ si ottiene che la soluzione è
$f(x)=sqrt(alpha/pi)e^(-alphax^2)$
Il fatto che la distribuzione abbia media nulla è perché nell'impostazione usata si assume che gli errrori positivi e negativi si compensino.
Il parametro $alpha$ rimasto indeterminato è in funzione della varianza della distribuzione.
Non è proprio un approccio standard per studiare una gaussiana.....quindi sono andato un po' a braccio nella risposta (spero di esserti stato di aiuto)
Ti ringrazio davvero, mi sei stato molto di aiuto. I dubbi che avevo erano davvero stupidi una volta che me li hai chiariti ahahah
Per quanto riguarda le equazioni funzionali, beh no, non le abbiamo trattate, questo argomento non è neanche importante al corso ma interessava a me. grazie di tutto
Per quanto riguarda le equazioni funzionali, beh no, non le abbiamo trattate, questo argomento non è neanche importante al corso ma interessava a me. grazie di tutto
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