Distribuzione gaussiana
Ciao, amici!
Il libro che sto leggendo (di fisica) dice che si può provare che il 68% delle misure aventi distribuzione gaussiana cadono nell'intervallo compreso tra $\bar x - \sigma$ e $\bar x + \sigma$, che il 95,4% cade nell'intervallo tra $\bar x - 2\sigma$ e $\bar x + 2\sigma$ e il 99,7% tra $\bar x - 3\sigma$ e $\bar x + 3\sigma$. A me non piace trovare scritto "si può dimostrare" senza provare a trovare una dimostrazione o a dimostrarlo io...
Ora, i valori che dà il libro direi che significano semplicemente, dato che direi che $\int_{-oo}^{+oo} 1/(\sigma sqrt(2\pi)) e^(-1/2((x-\mu)/\sigma)^2) dx = 1$, che
$\int_{-\sigma}^{\sigma} 1/(\sigma sqrt(2\pi)) e^(-1/2((x-\mu)/\sigma)^2) dx ~= 0,68$
$\int_{-2\sigma}^{2\sigma} 1/(\sigma sqrt(2\pi)) e^(-1/2((x-\mu)/\sigma)^2) dx ~= 0,954$
$\int_{-3\sigma}^{3\sigma} 1/(\sigma sqrt(2\pi)) e^(-1/2((x-\mu)/\sigma)^2) dx ~= 0,997$
Dove $\mu$ è il valor medio, quindi, per una distribuzione continua $\mu = \int_{-oo}^{+oo} xf(x)dx$.
Bisonga tener conto del fatto che $\int e^(-1/2((x-\mu)/\sigma)^2) dx$ non è risolvibile con tecniche elementari, il che rappresenta per me uno scoglio...
Qualcuno sarebbe così gentile da darmi una mano?
$+oo$ grazie a tutti!!!
Davide
Il libro che sto leggendo (di fisica) dice che si può provare che il 68% delle misure aventi distribuzione gaussiana cadono nell'intervallo compreso tra $\bar x - \sigma$ e $\bar x + \sigma$, che il 95,4% cade nell'intervallo tra $\bar x - 2\sigma$ e $\bar x + 2\sigma$ e il 99,7% tra $\bar x - 3\sigma$ e $\bar x + 3\sigma$. A me non piace trovare scritto "si può dimostrare" senza provare a trovare una dimostrazione o a dimostrarlo io...
Ora, i valori che dà il libro direi che significano semplicemente, dato che direi che $\int_{-oo}^{+oo} 1/(\sigma sqrt(2\pi)) e^(-1/2((x-\mu)/\sigma)^2) dx = 1$, che
$\int_{-\sigma}^{\sigma} 1/(\sigma sqrt(2\pi)) e^(-1/2((x-\mu)/\sigma)^2) dx ~= 0,68$
$\int_{-2\sigma}^{2\sigma} 1/(\sigma sqrt(2\pi)) e^(-1/2((x-\mu)/\sigma)^2) dx ~= 0,954$
$\int_{-3\sigma}^{3\sigma} 1/(\sigma sqrt(2\pi)) e^(-1/2((x-\mu)/\sigma)^2) dx ~= 0,997$
Dove $\mu$ è il valor medio, quindi, per una distribuzione continua $\mu = \int_{-oo}^{+oo} xf(x)dx$.
Bisonga tener conto del fatto che $\int e^(-1/2((x-\mu)/\sigma)^2) dx$ non è risolvibile con tecniche elementari, il che rappresenta per me uno scoglio...
Qualcuno sarebbe così gentile da darmi una mano?
$+oo$ grazie a tutti!!!
Davide
Risposte
Prova a giocare con la funzione $Q(x)$ e vedi se ti esce qualcosa
Non c'è storia: quell'integrale va approssimato numericamente. Prova con un software di calcolo numerico oppure consulta delle tabelle (mi pare si chiamino quantili o qualcosa del genere). Sposto comunque in Statistica dove avrai maggiore riscontro.
Già, eventuali dimostrazioni analitiche non sarebbero elementari. Tuttavia, gli integrali che hai scritto sono riconducibili ad una forma normalizzata (con variabile con [tex]\mu=0[/tex] e [tex]\sigma=1[/tex]), [tex]\Phi(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x}e^{-u^2/2}du[/tex], di cui trovi molto facilmente tavole o strumenti di calcolo. Per esempio, su Excel, sarebbe DISTRIB.NORM.ST(3)-DISTRIB.NORM.ST(-3)=0,9973.
Grazie di cuore a tutti per le risposte!
Mi scuso per aver postato in "Analisi" (l'ho fatto pensando alla funzione gaussiana come ad un oggetto studiabile con metodi tipici dell'analisi, ma questo è un integrale un po' particolare...)...
Ciao a tutti e grazie di nuovo!!!
Mi scuso per aver postato in "Analisi" (l'ho fatto pensando alla funzione gaussiana come ad un oggetto studiabile con metodi tipici dell'analisi, ma questo è un integrale un po' particolare...)...
Ciao a tutti e grazie di nuovo!!!
"Cmax":
Già, eventuali dimostrazioni analitiche non sarebbero elementari. Tuttavia, gli integrali che hai scritto sono riconducibili ad una forma normalizzata (con variabile con [tex]\mu=0[/tex] e [tex]\sigma=1[/tex]), [tex]\Phi(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x}e^{-u^2/2}du[/tex], di cui trovi molto facilmente tavole o strumenti di calcolo. Per esempio, su Excel, sarebbe DISTRIB.NORM.ST(3)-DISTRIB.NORM.ST(-3)=0,9973.
esatto, è proprio la funzione $Q(.)$ di cui parlavo
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