Distribuzione esponenziale negativa

[adriano419]

Ho un dubbio sul procedimento di questo esercizio di statistica.
Un'auto nuova di zecca è dotata di 4 pneumatici, ciascuno dei quali ha una durata media di 100.000 km (con distribuzione esponenziale negativa).
Qual è il chilometraggio atteso prima di dover ricorrere al gommista considerando che le durate dei singoli pneumatici possono essere considerate v.c indipendenti fra loro?

Questo è il mio procedimento:

pongo $ 1/theta = 100.000 $

La mia funzione di ripartizione è: $ F(x)=1-e^(-thetax)I_(0,+oo)(x) $

con $ F(y)=[1-e^(-thetax)]^4 $

Procedo al calcolo dell'integrale definito:

$ int _{0}^{+oo} 1-(1-e^(-thetay))^4 = int _{0}^{+oo} 1-(1 - 4e^(-thetay)+6e^(-2thetay) - 4e^(-3thetay)+e^(-4thetay)) $

$ int _{0}^{+oo} +4e^(-thetay)-6e^(-2thetay) + 4e^(-3thetay)-e^(-4thetay)= -4e^(-thetay)/theta+3e^(-2thetay)/theta - 4e^(-3thetay)/(3theta)+e^(-4thetay)/(4theta)|_(0)^(+oo) $

Ottengo come risultato:

$ 4/theta - 3/theta + 4/(3theta) - 1/(4theta)= 25/(12theta) = 208.333,33 $

[Lo_zio_Tom]

Vai dal gommista non appena il primo dei 4 pneumatici si consuma


La funzione di ripartizione del minimo è

$F_Y(y)=[1-e^(-4thetay)]mathbb(1)_((0;+oo))(y)$

Quindi la media viene

$mathbb(E)[Y]=int_0^(+oo)e^(-4theta y)dy=1/(4theta)int_0^(+oo)4theta e^(-4thetay)dy=1/(4theta)xx1=25.000$