Distribuzione esponenziale di min{X,Y}

[DavideGenova1]

Ciao, amici!
Date le variabili casuali X e Y, indipendenti, distribuite esponenzialmente con parametri $\lambda$ entrambe, cioè con funzione di densità (per x e y non negativi) rispettivamente $f_1(x)=\lambda e^(-\lambdax)$ e $f_2(y)=\lambda e^(-\lambday)$, si ha che min{X,Y} è distribuita esponenzialmente con parametro $2\lambda$, cioè, direi, che

se $P(X<=x)=F_1(x)$ con derivata $f_1(x)=\lambda e^(-\lambdax)$ e $P(X<=y)=F_2(y)$ con derivata $f_2(y)=\lambda e^(-\lambday)$, dove X e Y sono indipendenti,
$P(min{X,Y}<=x)=F(x)$ ha per derivata $f(x)=2\lambdae^(-2\lambdax)$

Non riesco a trovarne una dimostrazione... Tra le altre cose so che la varianza è, per la densità $f_1(x)=\lambda e^(-\lambdax)$, $\sigma(X)=1/\lambda$, che è anche uguale al valor medio $EX=1/\lambda$... Qualcuno potrebbe essere così gentile da aiutarmi?
Grazie infinite a tutti!!!
Davide

[itpareid]

io farei:
detta $Z=min(X,Y)$ si ha
$P(Z \leq t)=1-P(Z > t)=1-P(X>t,Y>t)$
per l'indipendenza
$1-P(X>t,Y>t)=1-P(X>t)(Y>t)$

[DavideGenova1]

Grazie di cuore, itpareid!!! Rispondo solo adesso perché sono stato via alcuni a Bologna: quante librerie, che meraviglia! Mi sono comprato due volumi con "tutta la geometria" da Euclide alla topologia... bellissimi...
Allora direi che
$P(Z<=t)= 1-(1-P(X<=t))(1-P(Y<=t))= P(Y<=t)+P(X<=t)-P(X<=t)P(Y<=t)=$
$\int \lambda e^(-\lambdax) dx + \int \lambda e^(-\lambday) dy -(\int \lambda e^(-\lambdax) dx)(\int \lambda e^(-\lambday) dy)=-e^(-\lambdax) + C_1 -e^(-\lambday) + C_2 -e^(-2\lambda(x+y)) + C_3 e^(-\lambdax) + C_3 e^(-\lambday)$
dove $-e^(-2\lambda(x+y))$ è una primitiva in dxdy di $2\lambdae^(-2\lambda(x+y))$.
Grazie di cuore!!!

[itpareid]

prego!