Distribuzione esatta dello stimatore di massima verosimiglianza
Ciao a tutti,
non riesco a capire in generale come venga calcolata la distribuzione esatta di uno stimatore.
Mi spiego ad esempio in questo esercizio:
$p(lamda) = e^-(lambdax) (lamdax)^ y /(y!)$
Lo stimatore di massima verosimiglianza è $ hat lambda = bar y / bar x$
Il risultato è il seguente $ ((lambda10bar x) ^ (y10bar x) / ((y10bar x)!)) * e ^ -(lambda10barx) $
Cioè y diventa $y10bar x$ e x diventa $10bar x$ ??
non riesco a capire in generale come venga calcolata la distribuzione esatta di uno stimatore.
Mi spiego ad esempio in questo esercizio:
$p(lamda) = e^-(lambdax) (lamdax)^ y /(y!)$
Lo stimatore di massima verosimiglianza è $ hat lambda = bar y / bar x$
Il risultato è il seguente $ ((lambda10bar x) ^ (y10bar x) / ((y10bar x)!)) * e ^ -(lambda10barx) $
Cioè y diventa $y10bar x$ e x diventa $10bar x$ ??
Risposte
Per la distribuzione dello stimatore assumi lo stimatore $ bar(lambda) =y$ quindi $ F_Y(t)=Prob(Y<=t)=Prob(bar(lambda)<=t)=Prob((bar(y))/(bar(x))<=t)=Prob(bar(y)<=bar(x)*t) $
Non si capiscono molto i passaggi e cosa rappresenti cosa, se è una v.a. discreta o continua e qual'è la variabile in analisi
Inoltre il 10 da dove l'hai tirato fuori?
Non si capiscono molto i passaggi e cosa rappresenti cosa, se è una v.a. discreta o continua e qual'è la variabile in analisi
Inoltre il 10 da dove l'hai tirato fuori?
Scusami..
$y_i i=1,...,10 $ sono realizzazione di v.c. indipendenti $Y_i$ con $Y_i ~ P(lambdax_i)$
$y_i i=1,...,10 $ sono realizzazione di v.c. indipendenti $Y_i$ con $Y_i ~ P(lambdax_i)$
ok il discorso di prima vale ancora semplicemente devi calcolarti quella probabilità così ottieni la funzione di ripartizione.
$ x_i $ è una variabile aleatoria o semplicemente una serie di numeri?
Ora per calcolare
$ F_Y(t)=Prob(Y<=t)=Prob(bar(lambda)<=t)=Prob((bar(y))/(bar(x))<=t)=Prob(bar(y)<=bar(x)*t) =Prob(sum(y_i)<=bar(x)*t*n) $
Quindi qual'è la probabilità che la somma dei successi dei campioni $ y_i $ (è una v.a. di poisson) sia minore di una certa quantità?
Sai che $ sum(y_i) $ segue una legge di poisson $ P(sum(lambda_i))=P(10lambda)$
Perciò fatto ciò ti ricavi la funzione ripartizione
$ x_i $ è una variabile aleatoria o semplicemente una serie di numeri?
Ora per calcolare
$ F_Y(t)=Prob(Y<=t)=Prob(bar(lambda)<=t)=Prob((bar(y))/(bar(x))<=t)=Prob(bar(y)<=bar(x)*t) =Prob(sum(y_i)<=bar(x)*t*n) $
Quindi qual'è la probabilità che la somma dei successi dei campioni $ y_i $ (è una v.a. di poisson) sia minore di una certa quantità?
Sai che $ sum(y_i) $ segue una legge di poisson $ P(sum(lambda_i))=P(10lambda)$
Perciò fatto ciò ti ricavi la funzione ripartizione
Le y sono la quantità di cellule poste sopra un vetrino. Le x rappresentano la dimensione del vetrino.
Non mi è chiaro al 100% quello che mi scrivi. Riesci se vuoi a farmi vedere i passaggi?
Non mi è chiaro al 100% quello che mi scrivi. Riesci se vuoi a farmi vedere i passaggi?
Premetto che non ho verificato se la tua soluzione sia giusta, comunque in generale per ricavarti la densità esatta di uno stimatore di massima verosomiglianza devi seguire quello che dico dopo.
Sinceramente non credo siano v.a. continue le tue $ y_i $ in quanto la tua $ y_i$ è una poisson di valore atteso $ lambda*x_i $ a meno che le $ x_i $ siano variabili aleatorie anche loro.
Allora non so quale sia ciò che si vuole fare con l'esperimento, ma assumiamo per esempio che $ lambda $ è il numero medio di cellule che si è in grado di vedere con un telescopio(esempio a caso), in questo caso $ x_i $ ovvero la dimensione del vetrino influenzerà tale valore atteso.
Quello che ti chiede di fare è di trovare la funzione di ripartizione(è la funzione che definisce la legge di probabilità di una variabile discreta come nel nostro caso) del tuo stimatore di massima-verosomiglianza
Quindi posto $ bar(lambda)=z $ sostanzialmente lo pongo come un'incognita e cerco di ricavarmi la sua distribuzione:
$ F_Z(t)=Prob(Z<=t)=Prob(bar(lambda)<=t)=Prob((bar(y))/(bar(x))<=t)=Prob(bar(y)<=bar(x)*t)=Prob(sum(y_i)<=bar(x)*t*n) $
Comunque sai che le $ y_i $ sono Poisson con valore atteso $ x_i lambda$ . Per una proprietà della distribuzione di poisson $ Y=sum(y_i) $ si comporterà come una poisson di valore atteso $ sum(x_i*lambda)=lambda*sum(x_i) $(avevo fatto un'errore).
Quindi:
$Prob(sum(y_i)<=bar(x)*t*n)=Prob(sum(y_i)<=sum(x_i)*t)=sum_(x=0)^(sum(x_i)*t) P(x,lambda*sum(x_i))$ l'ultima è una Poisson calcolata in x con valore atteso $ lambda*sum(x_i) $
La funzione di ripartizione in $ x $ di una poisson con un dato valore atteso $ lambda $ è una gamma incompleta $ (Gamma(x+1,lambda))/(x!)$ dove la gamma è la funzione gamma incompleta
perciò al posto di $ x$ metti $ sum(x_i)*t $ e al posto di $ lambda$ metti $ lambda*sum(x_i) $
edit:vedendo il risultato dell'esercizio però devo rivedere se non ho fatto qualche errore e se lo stimatore ML sia giusto, comunque non capisco se l'esercizio chieda la funzione di distribuzione(funzione di ripartizione) o la probabilità in ogni punto dello stimatore ML. Da quanto dice si richiede la funzione di ripartizione ma dalla soluzione sembra richiedere la seconda.
Appena ho tempo ricontrollo
Sinceramente non credo siano v.a. continue le tue $ y_i $ in quanto la tua $ y_i$ è una poisson di valore atteso $ lambda*x_i $ a meno che le $ x_i $ siano variabili aleatorie anche loro.
Allora non so quale sia ciò che si vuole fare con l'esperimento, ma assumiamo per esempio che $ lambda $ è il numero medio di cellule che si è in grado di vedere con un telescopio(esempio a caso), in questo caso $ x_i $ ovvero la dimensione del vetrino influenzerà tale valore atteso.
Quello che ti chiede di fare è di trovare la funzione di ripartizione(è la funzione che definisce la legge di probabilità di una variabile discreta come nel nostro caso) del tuo stimatore di massima-verosomiglianza
Quindi posto $ bar(lambda)=z $ sostanzialmente lo pongo come un'incognita e cerco di ricavarmi la sua distribuzione:
$ F_Z(t)=Prob(Z<=t)=Prob(bar(lambda)<=t)=Prob((bar(y))/(bar(x))<=t)=Prob(bar(y)<=bar(x)*t)=Prob(sum(y_i)<=bar(x)*t*n) $
Comunque sai che le $ y_i $ sono Poisson con valore atteso $ x_i lambda$ . Per una proprietà della distribuzione di poisson $ Y=sum(y_i) $ si comporterà come una poisson di valore atteso $ sum(x_i*lambda)=lambda*sum(x_i) $(avevo fatto un'errore).
Quindi:
$Prob(sum(y_i)<=bar(x)*t*n)=Prob(sum(y_i)<=sum(x_i)*t)=sum_(x=0)^(sum(x_i)*t) P(x,lambda*sum(x_i))$ l'ultima è una Poisson calcolata in x con valore atteso $ lambda*sum(x_i) $
La funzione di ripartizione in $ x $ di una poisson con un dato valore atteso $ lambda $ è una gamma incompleta $ (Gamma(x+1,lambda))/(x!)$ dove la gamma è la funzione gamma incompleta
perciò al posto di $ x$ metti $ sum(x_i)*t $ e al posto di $ lambda$ metti $ lambda*sum(x_i) $
edit:vedendo il risultato dell'esercizio però devo rivedere se non ho fatto qualche errore e se lo stimatore ML sia giusto, comunque non capisco se l'esercizio chieda la funzione di distribuzione(funzione di ripartizione) o la probabilità in ogni punto dello stimatore ML. Da quanto dice si richiede la funzione di ripartizione ma dalla soluzione sembra richiedere la seconda.
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