Distribuzione di Somma di Esponenziali

[Edex1]

Salve a tutti ragazzi!
Come da titolo: sto cercando di trovare la distribuzione della somma di variabili aleatorie esponenziali indipendenti ed identicamente distribuite.
L'esercizio è:

Siano $tau_1, ..., tau_n$ variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite, con \[ \tau_i \sim exp(\lambda) \] e sia $Z = tau_1 + ... + tau_n$.
Trovare la distribuzione di Z.

Non sono riuscito a trovare la distribuzione per $n$ qualsiasi, allora ho provato con $n = 2$, ma anche qui incontro dei problemi.
Utilizzo infatti la convoluzione di $tau_1, tau_2$:

$f_Z(z) = int_(-infty)^(+infty) f_{tau_1}(t) \cdot f_{tau_2}(z-t) dt =$
$= int_(-infty)^(+infty) \lambda^2 \cdot e^{-\lambda t} \cdot e^{-\lambda(z-t)} dt = $
$= int_(-infty)^(+infty) \lambda^2 e^{-\lambda z} dt$

Che viene infinito...
Dove sto sbagliando?
Vi ringrazio per l'aiuto!

[Edex1]

Ok ragazzi, errore trovato!
Quell'integrale ovviamente non è su tutto $RR$, ma solo tra $[0,z]$
Svolgendo i calcoli mi viene la distribuzione gamma (che cercando online ho scoperto dovrebbe essere quella giusta ;D)

EDIT:
Aggiungo uno alla volta (man mano che li svolgo) anche i punti successivi dell'esercizio, sperando possiate aiutarmi a capire se sono corretti o se ho sbagliato qualcosa

Il secondo punto dice:
Dato $T>0$ trovare la distribuzione del numero $N_{[0,T]}$ di eventi che si verificano nell'intervallo di tempo $[0,T]$.

Nota: Le variabili aleatorie $tau_1, tau_1+tau_2, ... , tau_1+tau_2+...+tau_n$ indicano i tempi in cui avviene un evento.

Io ho ragionato così:

$P(N>=s) = P(tau_1+...+tau_s <= T)$
Quindi:

$P(N=s) = P(N>=s) - P(N>=s+1) = lambda^s/(s!) \cdot (e^{-lambda T} T^s -1)$

Punto 3:
Dati $0<= T_1 < T_2 < T_3 < T_4$ siano $N_{[T_1,T_2]}$ e $N_{[T_3,T_4]}$ il numero di eventi negli intervalli $[T_1,T_2]$ e $[T_3,T_4]$. Dimostrare che le variabili aleatorie $N_{[T_1,T_2]}$ e $N_{[T_3,T_4]}$ sono indipendenti.

Ci ho ragionato un bel po' e sono abbastanza convinto che vada usata la proprietà di perdita di memoria della variabile aleatoria esponenziale, però non riesco a venirne a capo. Potreste darmi qualche dritta?

Punto 4:
Siano, per $n>=1$, $X_1,...,X_n$ variabili aleatorie uniformi in $[0,T]$ indipendenti. Determinare la distribuzione di $Y = min{X_1,...,X_n}$

Io ho ragionato così:

$P(Y>t) = P(X_1>t, X_2>t, ..., X_n>t) = P(X_1 > t) \cdot P(X_2 > t) ... P(X_n > t) = (1 - P(X_1 >= t))^n = (1- t/T)^n$

Quindi:

$f_Y(t) = n/T \cdot (1-t/T)^{n-1}$

Che ne dite?