Distribuzione di probabilità di variabile aleatoria

[Bnert]

Ciao , sto svolgendo un esercizio di probabilità , ma non riesco a capire come si trovano gli estremi di integrazione .
L'esercizio è questo :
Sia $(X,Y)$ una variabile aleatoria doppia con funzione di densità

$f_(XY)(x,y)={{: ( k(y-x) , ; 0
Non sono riuscito a inserirlo nelle graffe, ma ci ha pensato qualcun altro

1)Determinare il valore di $k$
2)Ricavare la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria $Z = (X+Y)/2 $

1) Questo punto l'ho svolto e mi risulta $k=6$
2) Sostituendo prima $x=0$ e $y=0$ , ottengo che $ (X+Y)/2 = 0/2 $ , quindi l'estremo inferiore di $z$ è $0$ . Poi ho sostituito $y=1$ e $x=y$(quindi $x=1$) in $ (X+Y)/2 $ , mi viene $2/2=1$ , quindi l'estremo superiore di $z$ è $1$ e $zin(0,1)$ . È corretto ?
Ora sto cercando di ricavarmi la distribuzione di $Z$ e quindi sto facendo $P( (X+Y)/2

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Risposte

Lo_zio_Tom

5 nov 2019, 12:54

la costante è corretta. il dominio di Z pure. Ora fai un grafico, sul dominio congiunto $0
$(0;0)$, $(1;1)$ e $(0;1)$

e ci fai passare in mezzo la retta (parametrica in $z$) $Y=-X+2z$. La tua funzione di ripartizione è data dall'integrale doppio della densità congiunta sull'area sotto la retta e dentro al triangolo.....

Ci sono vari modi per integrare quel dominio (piuttosto cattivo, a dirla tutta). Il modo più semplice mi pare questo:

$F_Z(z)=int_0^z dx int_(x)^(2z-x)(6y-6x)dy$; $0
$F_Z(z)=1-int_z^1dy int_(2z-y)^(y) (6y-6x)dx$; $1/2
a conti fatti troverai

$F_Z(z)={{: ( 0 , ;z<0 ),( 4z^3 , ;0<=z<1/2 ),( 1-4(1-z)^3 , ;1/2<=z<1 ),( 1 , ;z>=1 ) :}$

che, graficamente, viene




Ora hai tutti i risultati ed un ottimo spunto per ragionare ed arrivarci

Buon lavoro

PS: se vuoi la densità di Z basta derivare la $F_Z$

Resto ovviamente a disposizione per fornirti ulteriori spunti....dopo che avrai mostrato un certo impegno nella risoluzione del problema.

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Bnert

5 nov 2019, 15:38

Ciao tommik , innanzitutto grazie per la velocissima risposta e per il tempo che hai dedicato al problema . Sto pensando da un po' alla tua soluzione, ma penso di avere qualche grave lacuna anche in matematica che non mi permette di arrivarci . Ho l'esame di probabilità tra 2 giorni e penso di non aver capito ancora bene le cose come funzionano e non ci capisco più nulla .
Fino a disegnare la retta ci sono , poi ho che $y<2z-X$ e quindi penso che devo integrare la $y$ da $x$ a $2z-x$ e poi la $x$ non riesco a capire perché va integrata da $0$ a $z$ . $z$ sarebbe il punto di incontro tra le due rette ? E perché lo studio viene diviso proprio tra prima di $1/2$ e dopo $1/2$ ?
Ho ancora problemi con questi intervalli , non riesco a venirne a capo .
Grazie ancora

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[Lo_zio_Tom]

la costante è corretta. il dominio di Z pure. Ora fai un grafico, sul dominio congiunto $0
$(0;0)$, $(1;1)$ e $(0;1)$

e ci fai passare in mezzo la retta (parametrica in $z$) $Y=-X+2z$. La tua funzione di ripartizione è data dall'integrale doppio della densità congiunta sull'area sotto la retta e dentro al triangolo.....

Ci sono vari modi per integrare quel dominio (piuttosto cattivo, a dirla tutta). Il modo più semplice mi pare questo:

$F_Z(z)=int_0^z dx int_(x)^(2z-x)(6y-6x)dy$; $0
$F_Z(z)=1-int_z^1dy int_(2z-y)^(y) (6y-6x)dx$; $1/2
a conti fatti troverai

$F_Z(z)={{: ( 0 , ;z<0 ),( 4z^3 , ;0<=z<1/2 ),( 1-4(1-z)^3 , ;1/2<=z<1 ),( 1 , ;z>=1 ) :}$

che, graficamente, viene




Ora hai tutti i risultati ed un ottimo spunto per ragionare ed arrivarci

Buon lavoro

PS: se vuoi la densità di Z basta derivare la $F_Z$

Resto ovviamente a disposizione per fornirti ulteriori spunti....dopo che avrai mostrato un certo impegno nella risoluzione del problema.

[Bnert]

Ciao tommik , innanzitutto grazie per la velocissima risposta e per il tempo che hai dedicato al problema . Sto pensando da un po' alla tua soluzione, ma penso di avere qualche grave lacuna anche in matematica che non mi permette di arrivarci . Ho l'esame di probabilità tra 2 giorni e penso di non aver capito ancora bene le cose come funzionano e non ci capisco più nulla .
Fino a disegnare la retta ci sono , poi ho che $y<2z-X$ e quindi penso che devo integrare la $y$ da $x$ a $2z-x$ e poi la $x$ non riesco a capire perché va integrata da $0$ a $z$ . $z$ sarebbe il punto di incontro tra le due rette ? E perché lo studio viene diviso proprio tra prima di $1/2$ e dopo $1/2$ ?
Ho ancora problemi con questi intervalli , non riesco a venirne a capo .
Grazie ancora