Distribuzione di probabilita' della funzione di due variabili random

[lorenzo.617]

Siano P, Q \( \in C^{\infty} \) due distribuzioni di probabilita' indipendenti. Sia \(z= f(x,y ) \) dove \( x \sim P(X) \) , \( y\sim Q(Y)\) con \( f \in C^{\infty}\). Esiste una procedura generale per trovare la distribuzione di probabilita' di z? Grazie in anticipo!!

[Lo_zio_Tom]

Sì

$G_Z(z)=int int _(f(x,y)<=z)p_X(x)q_Y(y)dxdy$

dove la lettera maiuscola indica la CDF mentre la minuscola la densità (pdf)

PS: di solito si indica con notazione standard

$F_Z(z)=int int _(g(x,y)<=z)f_X(x)f_Y(y)dxdy$

dove la lettera $f$ sta per funzione di densità (pdf), $F$ per funzione di ripartizione (CDF) mentre con $g$ si indica la funzione di trasfomazione.

la stessa formula si usa anche per variabili aleatorie non necessariamente indipendenti.

$F_Z(z)=int int _(g(x,y)<=z)f_(XY)(x,y)dxdy$

Se le variabili sono indipendenti e la funzione di trasformazione è la loro somma, la densità di Z è il prodotto di convoluzione.

Sul forum troverai centinaia e centinaia di esempi già svolti e tutti completamente commentati

saluti

[lorenzo.617]

Ti ringrazio!!