Distribuzione di probabilità dal grafico

[Lionel2]

Salve ho la seguente funzione di distribuzione di probabilità



dal grafico come ricavo la forma analitica di tal funzione di distribuzione senza commettere errori??

Io ho fatto così:

$0$ se $x<0$
$(x-3/2)/4$ se $0 $(x-9/2)/2$ se $3 $(3/4)*(x-15/2)$ se $0 $1$ se $x>1$

[codino75]

quella disegnata e' una funzione di ripartizione(forse si chiama anche funzione di distribuzione) )(non una densita' di probabilita'), ed e' costante a tratti (quindi la tua descrizione analitica non e' corretta in quanto ci hai messo dentro delle x, cioe' delle cose che non sono costanti)

[gugo82]

"codino75":quella disegnata e' una funzione di ripartizione(forse si chiama anche funzione di distribuzione)

Confermo: funzione di distribuzione = funzione di ripartizione; nomenclatura diversa per lo stesso oggetto.

[Lionel2]

"Lionel":Salve ho la seguente funzione di distribuzione di probabilità



dal grafico come ricavo la forma analitica di tal funzione di distribuzione senza commettere errori??

Io ho fatto così:

$0$ se $x<0$
$(x-3/2)/4$ se $0 $(x-9/2)/2$ se $3 $(3/4)*(x-15/2)$ se $0 $1$ se $x>1$

Allora dovrà essere

$0$ se $x<0$
$0.25*u(x)$ se $0 $0.50*u(x-3)$ se $3 $0.75*u(x-6)$ se $0 $1*u(x-9)$ se $x>1$

così se vado a derivare ottengo la densità di probabilità così:

$0$ se $x<0$
$0.25*delta(x)$ se $0 $0.50*delta(x-3)$ se $3 $0.75*delta(x-6)$ se $0 $delta(x-9)$ se $x>1$

sempre se il mio ragionamento è corretto

[gugo82]

Quasi giusto...

Nelle assegnazioni che definiscono la distribuzione devi metterci i $le$ negli estremi sinistri degli intervallini (ad esempio $0le x<3$, $3le x <6$, ...) perchè la distribuzione $F$ deve essere una funzione continua a destra in ogni punto $x in RR$.

La derivata di $F$ la puoi esprimere direttamente come somma di $delta$ di Dirac: ogni $delta$ va centrata nel punto di discontinuità e moltiplicata per il salto relativo (ossia $f(x)=\sum_(k=1)^4(F(x_i)-F(x_i^-))*delta(x-x_i)$, ove $x_i$ sono i punti di discontinuità e $F(x_i)-F(x_i^-)$ il "salto" di $F$ in $x_i$).

[codino75]

"Lionel":


Allora dovrà essere

$0$ se $x<0$
$0.25*u(x)$ se $0 $0.50*u(x-3)$ se $3 $0.75*u(x-6)$ se $0 $1*u(x-9)$ se $x>1$

osservazione banale.
e' corretto, ma non necessario , utilizzare la funzione gradino per descrivere la funzione del disegno, almeno a mio modesto parere. bastava scrivere :
$0$ se $x<0$
$0.25$ se $0 $0.50$ se $3 $0.75$ se $6 $1$ se $x>9$

[Nikilist]

Quasi giusto...

Nelle assegnazioni che definiscono la distribuzione devi metterci i ≤ negli estremi sinistri degli intervallini (ad esempio 0≤x<3, 3≤x<6, ...) perchè la distribuzione F deve essere una funzione continua a destra in ogni punto x∈ℝ.

La derivata di F la puoi esprimere direttamente come somma di δ di Dirac: ogni δ va centrata nel punto di discontinuità e moltiplicata per il salto relativo (ossia f(x)=∑k=14(F(xi)-F(xi-))⋅δ(x-xi), ove xi sono i punti di discontinuità e F(xi)-F(xi-) il "salto" di F in xi).

Quello è opinabile e questione di convenzione, l'importante è fare una scelta e esservi coerenti (o seguire quanto fa il prof ). La continuità a destra o a sinistra della distribuzione (come anche altri enti matematici importanti, come la trasformata di Fourier) non è univoca ma arbitraria.

[codino75]

"Nikilist":

Quasi giusto...

Nelle assegnazioni che definiscono la distribuzione devi metterci i ≤ negli estremi sinistri degli intervallini (ad esempio 0≤x<3, 3≤x<6, ...) perchè la distribuzione F deve essere una funzione continua a destra in ogni punto x∈ℝ.

La derivata di F la puoi esprimere direttamente come somma di δ di Dirac: ogni δ va centrata nel punto di discontinuità e moltiplicata per il salto relativo (ossia f(x)=∑k=14(F(xi)-F(xi-))⋅δ(x-xi), ove xi sono i punti di discontinuità e F(xi)-F(xi-) il "salto" di F in xi).

Quello è opinabile e questione di convenzione, l'importante è fare una scelta e esservi coerenti (o seguire quanto fa il prof ). La continuità a destra o a sinistra della distribuzione (come anche altri enti matematici importanti, come la trasformata di Fourier) non è univoca ma arbitraria.

in realta' anche io ho sempre trovato che nella "definizione" di funz. di distribuzione si richiede la continuita' da destra.

[Lionel2]

"codino75":[quote="Lionel"]


Allora dovrà essere

$0$ se $x<0$
$0.25*u(x)$ se $0 $0.50*u(x-3)$ se $3 $0.75*u(x-6)$ se $0 $1*u(x-9)$ se $x>1$

osservazione banale.
e' corretto, ma non necessario , utilizzare la funzione gradino per descrivere la funzione del disegno, almeno a mio modesto parere. bastava scrivere :
$0$ se $x<0$
$0.25$ se $0 $0.50$ se $3 $0.75$ se $6 $1$ se $x>9$[/quote]


sì solo che però dopo devo fare una sostituzione per $x=y/2$:

$0$ se $y<0$
$0.25*u(y/2)$ se $0 $0.50*u(y/2-3)$ se $6 $0.75*u(y/2-6)$ se $12 $1*u(y/2-9)$ se $y>18$

dopodiché derivare

$0$ se $y<0$
$0.25*delta(y/2)$ se $0 $0.50*delta(y/2-3)$ se $6 $0.75*delta(y/2-6)$ se $12 $1*delta(y/2-9)$ se $y>18$

a questo punto applico il cambiamento di scala

$0.50*delta(y)$ se $0 $1*delta(y-6)$ se $6 $1.50*delta(y-12)$ se $12 $2*delta(y-18)$ se $y>18$

e alla fine ne dovrei calcolare la media...solo che mi viene: $u_y=0+6+18+36=60$ non credo sia possibile. Dove commetto errori?

[codino75]

"Lionel":
$1*delta(y/2-9)$ se $y>18$
Dove commetto errori?

forse ,"per intanto", li', in quanto il salto da un gradino all'altro dovrebbe essere di 0.25

[Nikilist]

"codino75":[quote="Nikilist"]

Quasi giusto...

Nelle assegnazioni che definiscono la distribuzione devi metterci i ≤ negli estremi sinistri degli intervallini (ad esempio 0≤x<3, 3≤x<6, ...) perchè la distribuzione F deve essere una funzione continua a destra in ogni punto x∈ℝ.

La derivata di F la puoi esprimere direttamente come somma di δ di Dirac: ogni δ va centrata nel punto di discontinuità e moltiplicata per il salto relativo (ossia f(x)=∑k=14(F(xi)-F(xi-))⋅δ(x-xi), ove xi sono i punti di discontinuità e F(xi)-F(xi-) il "salto" di F in xi).

Quello è opinabile e questione di convenzione, l'importante è fare una scelta e esservi coerenti (o seguire quanto fa il prof ). La continuità a destra o a sinistra della distribuzione (come anche altri enti matematici importanti, come la trasformata di Fourier) non è univoca ma arbitraria.

in realta' anche io ho sempre trovato che nella "definizione" di funz. di distribuzione si richiede la continuita' da destra.[/quote]

Certo, in quanto è la più comoda per esprime $P(a<=X

[Lionel2]

"codino75":[quote="Lionel"]
$1*delta(y/2-9)$ se $y>18$
Dove commetto errori?

forse ,"per intanto", li', in quanto il salto da un gradino all'altro dovrebbe essere di 0.25[/quote]

Non ho capito, anche perché lì sto applicando il cambiamento di scala della delta. Non è che ho sbagliaot a scrivere la funzione di distribuzione cumulativa?

[gugo82]

"Nikilist":[quote="codino75"][quote="Nikilist"]

Quasi giusto...

Nelle assegnazioni che definiscono la distribuzione devi metterci i ≤ negli estremi sinistri degli intervallini (ad esempio 0≤x<3, 3≤x<6, ...) perchè la distribuzione F deve essere una funzione continua a destra in ogni punto x∈ℝ.

Quello è opinabile e questione di convenzione, l'importante è fare una scelta e esservi coerenti (o seguire quanto fa il prof ). La continuità a destra o a sinistra della distribuzione (come anche altri enti matematici importanti, come la trasformata di Fourier) non è univoca ma arbitraria.

in realta' anche io ho sempre trovato che nella "definizione" di funz. di distribuzione si richiede la continuita' da destra.[/quote]
Certo, in quanto è la più comoda per esprime $P(a<=X[/quote]
Veramente si dimostra che se $F:XtoRR$ è una distribuzione di probabilità su $X$ allora $F$ è continua a destra...
Non si tratta né di convenzione né di convenienza in una definizione, ma di un risultato della teoria (discende dalla continuità verso il basso della misura di probabilità su $X$).

[Nikilist]

Cosa intendi per "continuità verso il basso"? Perché il nostro prof ci ha sempre insegnato che continua a sinistra o a destra è solo questione di scelta. Poi magari sbaglia lui...

[gugo82]

"Nikilist":Cosa intendi per "continuità verso il basso"? Perché il nostro prof ci ha sempre insegnato che continua a sinistra o a destra è solo questione di scelta. Poi magari sbaglia lui...

Intendo questa proprietà di una misura (non di una funzione... la probabilità è una misura dal punto di vista matematico, ossia una funzione particolare definita su una certa classe di insiemi e con due proprietà fondamentali: vedi qui per maggiori dettagli):

"Siano $Omega$ un insieme non vuoto, $M$ una $sigma$-algebra su $Omega$ e $mu:Mto [0,+oo]$ una misura su $M$ (in particolare una misura di probabilità).
Se $(E_n)_(n in NN)$ è una successione di elementi di $M$ non crescente rispetto all'inclusione (nel senso che $AA n in NN, E_(n+1)subseteq E_n$) e se esiste un $nu in NN$ tale che $mu(E_nu)$ è finita (questo accade sempre se $mu$ è una misura di probabilità) allora risulta:

$mu(nn_(n=1)^(+oo)E_n)=lim_(n to +oo) mu(E_n) quad$."

Questa proprietà si chiama continuità verso il basso perchè vale per successioni decrescenti di insiemi misurabili (ogni $E in M$ viene detto insieme misurabile o, se $mu$ è una misura di probabilità, evento); per le successioni crescenti di insiemi misurabili vale un'analoga proprietà di continuità verso l'alto in cui all'intersezione va sostituita l'unione.

Scusa la domanda Nikilist, ma sei ingegnere?

[Nikilist]

Grazie a Dio no, matematico e felice di esserlo . Quei poveracci sono sottoposti a ritmi inumani.

Comunque non per romperti le uova nel paniere ma se guardi qui oppure qui vedi che in entrambi i casi la distribuzione viene presa con il $<=$. Secondo me (per quanto sia intuizione, dato che il mio prof non si è mai preoccupato di andare troppo sull'astratto con $sigma$-algebre e simili) se si scegliesse la definizione di distribuzione col $<=$ si avrebbe una proprietà probabilmente simmetrica che giustificherebbe la continuità a destra.

[gugo82]

"Nikilist":Grazie a Dio no, matematico e felice di esserlo . Quei poveracci sono sottoposti a ritmi inumani.

Comunque non per romperti le uova nel paniere ma se guardi qui oppure qui vedi che in entrambi i casi la distribuzione viene presa con il $<=$. Secondo me (per quanto sia intuizione, dato che il mio prof non si è mai preoccupato di andare troppo sull'astratto con $sigma$-algebre e simili) se si scegliesse la definizione di distribuzione col $<=$ si avrebbe una proprietà probabilmente simmetrica che giustificherebbe la continuità a destra.

Mi sa di incomprensione.

Il valore assunto in $x in RR$ dalla funzione di distribuzione $F_X(x)$ della v.c. $X$ è per definizione uguale alla probabilità dell'evento ${Xle x}$, cioè $F_X(x)=P({Xle x})$, e qui non ci piove. Anzi, proprio da questa definizione e dalle proprietà di $P$ segue la continuità a destra di $F_X$ in ogni punto di $RR$.

Prendi allora la funzione:

$F(x)=\{ (0, " se " x<0), (1/2, " se " x=0), (1, " se " 0
essa non è una distribuzione di probabilità perchè non è continua a destra del punto $0$ (infatti risulta $lim_(x to 0^+) F(x)=1!=1/2=F(0)$)!
E questa:

$F(x)=\{ (0, " se " x<0),(1, " se " 0
non è una distribuzione di probabilità, perchè $F(0)$ non è nemmeno definito!
D'altra parte questa:

$F(x)=\{ (0, " se " x<0), (1, " se " 0le x)}$

è una distribuzione di probabilità, perchè è continua a destra in ogni punto di $RR$ (infatti è addirittura continua in $RR-{0}$, mentre è continua solo a destra di $0$); in particolare è la d.d.p. associata, ad esempio, ad una variabile del tipo $X:Omega to RR; x to 0$ definita su un qualunque spazio di probabilità $(Omega, M, P)$.

Ecco, allora, avrai finalmente compreso che intendevo i $le$ nella descrizione degli intervalli in cui variava $x$ nell'espressione per casi della $F$ riportata da Lionel: la soluzione corretta dell'esercizio proposto è:

$F(x)=\{(0, " se " 0
e non:

"Lionel":$0$ se $x<0$
$0.25*u(x)$ se $0 $0.50*u(x-3)$ se $3 $0.75*u(x-6)$ se $0 $1*u(x-9)$ se $x>1$

Spero sia tutto chiaro ora che ho detto esplicitamente dove andavano messi i $le$.


P.S.: perdonami, ma non vedo come si possa affrontare seriamente il Calcolo delle Probabilità senza addentrarsi almeno un po' nella Teoria della Misura... di solito l'approccio meno (o addirittura non) formale è riservato agli ingegneri, ma per i matematici il discorso sugli spazi di probabilità andrebbe un po' approfondito.

[Nikilist]

Ops! Non chiedermi perché, ma ero convinto di aver letto per due pagine "continuità a sinistra"! Infatti se guardi i miei post precedenti vedi che è quella che uso...

A parte quest'erroruccio, la mia posizione non cambia: F(x) è monotona, ha limite destro e sinistro in ogni punto e il numero di discontinuità di Ia specie è al più numerabile, ma la continuità a destra o a sinistra è opinabile. Noi abbiano adottato la definizione $F_X(x)=P(X

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[gugo82]

"Nikilist":Ops! Non chiedermi perché, ma ero convinto di aver letto per due pagine "continuità a sinistra"! Infatti se guardi i miei post precedenti vedi che è quella che uso...

A parte quest'erroruccio, la mia posizione non cambia: F(x) è monotona, ha limite destro e sinistro in ogni punto e il numero di discontinuità di Ia specie è al più numerabile, ma la continuità a destra o a sinistra è opinabile. Noi abbiano adottato la definizione $F_X(x)=P(X
Figurati, le sviste capitano... anche io in questo periodo non sono al massimo!

Per la definizione di distribuzione, che dire... ubi maior minor cessat.