Distribuzione di probabilità con parametro

[Marco2700L]

Si consideri la variabile aleatoria discreta X con distribuzione
1 2 3
θ θ 1-2θ
(a) Si determini il valore di θ  per cui quella di X è effettivamente una distribuzione di probabilità.
(b) Si calcolino media e varianza di X.

[Marco2700L]

Qui si può calcolare il VA che dovrebbe essere 3 - 3 θ e la varianza dovrebbe essere (2 θ +1 )/n però non saprei calcolare il valore di θ.
Dato che una distribuzione di probabilità ha sempre somma 1 si potrebbe dire che 1 = θ + θ - 2 θ però il risultato è 0=0 quindi non credo si risolva in questo modo.

[wnvl]

\(\displaystyle 0 \le \theta \le \frac{1}{2} \)

[Stenobar]

Allora,

a) Come giustamente hai notato nel tuo post precedente, una distribuzione di prob. è accettabile se:

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}p(x_{i})=1 \)

per cui \(\displaystyle \theta +\theta +1-2\theta =1 \)

Il fatto che questa equazione risulti in un'identità ha un significato ben preciso!! Significa che la distribuzione è accettabile \(\displaystyle \forall \vartheta \in \left [ 0,1 \right ] \)

P.S. Non capisco, in effetti, da cosa derivi il risultato proposto da wnvl, tra l'altro senza alcun passaggio, però vabbè..

b) Dunque, il valore atteso è effettivamente \(\displaystyle 3-3\theta \). Ma da dove hai tirato fuori il risultato della varianza? E soprattutto, cos'è quell' \(\displaystyle n \) che compare nel risultato?

Usa questa formula per il calcolo della varianza e poi fammi sapere:

\(\displaystyle Var(X)=E(X^{2})-\left [ E(X) \right ]^{2} \)

[wnvl]

"Stenobar":
P.S. Non capisco, in effetti, da cosa derivi il risultato proposto da wnvl, tra l'altro senza alcun passaggio, però vabbè..

Ma se \(\displaystyle \theta \ge \frac{1}{2} \), alora \(\displaystyle 1-2\theta \le 0 \)

[Stenobar]