Distribuzione della varianza campionaria

[anonymous_f3d38a]

Ciao, ho un dubbio su un esercizio che riguarda la distribuzione della varianza campionaria.

"Si consideri la variabile casuale continua $x$ che rappresenta il diametro dei bulloni prodotti da una certa azienda. In questa popolazione di riferimento $E(x)=3,5$ e $Var(x)=0,25$.
Consideriamo un campione di $n=50$ bulloni.
Se $X$ ha distribuzione normale $N(3,5 ;0,25)$, indicare il tipo di distribuzione della varianza campionaria."


Come soluzione ho letto:

"Dal momento che la media non è nota, allora ho che

$(n-1)S^2 /sigma^2 ~ chi_(n-1)^2 $

Quindi $49 S^2/sigma^2 ~ chi_49^2$

Se la media fosse stata nota : $50 S^2/sigma^2 ~ chi_50^2$"


DOMANDA:

Non ho capito questa frase:"dal momento che la media non è nota...".
Non potrei tranquillamente ricavare la media campionaria come
$E[bar(x)]= 1/50 sum_i x_i= 3,5$
e
$Var(bar(x))= 1/50 Var(x)= 5*10^(-3)$

?

In che senso "dato che la media non è nota"?

[Lo_zio_Tom]

"anonymous_f3d38a":
Non ho capito questa frase:"dal momento che la media non è nota...

In che senso "dato che la media non è nota"?

Se parti da un modello gaussiano, vale la seguente decomposizione

$sum_(i=1)^(n)((X_i-mu)/sigma)^2=(n-1)S^2/sigma^2+n((bar(X)-mu)/sigma)^2$

(dimostrazione facile facile, puoi farla per esercizio)

1) Il primo addendo è una $chi_((n-1))^2$ (lo hai scritto tu, correttamente, e quindi immagino tu lo sappia anche dimostrare)

2) Il secondo addendo è una Gaussiana standard al quadrato, ovvero è una $chi_((1))^2$

(anche qui la dimostrazione è piuttosto standard, l'ho postata $n$ volte sul forum...)

3) la chi quadro (essendo una particolare distribuzione gamma) gode della proprietà di riproducibilità e quindi la somma delle due chi quadro[nota]Per il teorema di Basu, in un modello gaussiano media e varianza campionaria sono stocasticamente indipendenti[/nota] è ancora una chi quadro con $(n-1)+1=n$ gdl

(anche qui la dimostrazione è facilissima, basta usare la funzione generatrice dei momenti)