Distribuzione del prodotto tra 2 esponenziali
Ciao,
mi chiedo se è possibile calcolare facilmente la funzione di distribuzione della trasformazione $Z=X*Y$ essendo $X~EXP(\lambda_1)$ e $Y~EXP(\lambda_2)$ indipendenti tra loro.
Ho provato con il metodo grafico provando a calcolare l'area sotto l'iperbole equilatera:
$$P(X*Y\leq z)=P(Y\leq\frac{z}{X})$$
ma, considerando il caso in cui tale probabilità non è nulla (ossia z>0), tale area risulta infinita (correggetemi se sbaglio).
Poi ho provato introducendo la variabile ausiliaria:
$$\begin{cases}
z=x*y\\
w=y\end{cases}\ \Rightarrow\
\begin{cases}
x=\frac{z}{w}\\
y=w\end{cases}$$
ottenendo alla fine un integrale non di facile risoluzione:
$$f_Z(z)=\int_0^{+\infty}f_{zw}(z,w)\ dw=\int_0^{+\infty}(\lambda_1\lambda_2e^{-\lambda_1\frac{z}{w}-\lambda_2w}\frac{1}{w})\ dw$$
dove $\frac{1}{w}$ è lo jacobiano $J(z,w)$ del cambio di variabili effettuato.
A questo punto ho esaurito le mie idee
mi chiedo se è possibile calcolare facilmente la funzione di distribuzione della trasformazione $Z=X*Y$ essendo $X~EXP(\lambda_1)$ e $Y~EXP(\lambda_2)$ indipendenti tra loro.
Ho provato con il metodo grafico provando a calcolare l'area sotto l'iperbole equilatera:
$$P(X*Y\leq z)=P(Y\leq\frac{z}{X})$$
ma, considerando il caso in cui tale probabilità non è nulla (ossia z>0), tale area risulta infinita (correggetemi se sbaglio).
Poi ho provato introducendo la variabile ausiliaria:
$$\begin{cases}
z=x*y\\
w=y\end{cases}\ \Rightarrow\
\begin{cases}
x=\frac{z}{w}\\
y=w\end{cases}$$
ottenendo alla fine un integrale non di facile risoluzione:
$$f_Z(z)=\int_0^{+\infty}f_{zw}(z,w)\ dw=\int_0^{+\infty}(\lambda_1\lambda_2e^{-\lambda_1\frac{z}{w}-\lambda_2w}\frac{1}{w})\ dw$$
dove $\frac{1}{w}$ è lo jacobiano $J(z,w)$ del cambio di variabili effettuato.
A questo punto ho esaurito le mie idee
Risposte
[strike]si può fare con entrambi i metodi...fammi guardare il problema 
[/strike]
ho parlato troppo presto...
[/strike]ho parlato troppo presto...
Mizza! Sei stato Flash!
...l'integrale risultante è un disastro, sei sicuro di doverlo calcolare esplicitamente? Ho paura che quell'integrale non possa nemmeno essere risolto con il calcolo di una primitiva...
$F_Z(z)=int_(0)^(+oo)theta e^(-thetax)dxint_(0)^(z/x) lambdae^(-lambday)dy$
Ad ogni modo con il metodo grafico non devi calcolare l'area sotto l'iperbole ma devi fare l'integrale doppio della densità congiunta sul dominio dato dall'area sotto l'iperbole....
ovviamente anche con l'altro metodo stesso problema....
a volte il problema si risolve cambiando l'ordine di integrazione...ma qui pare non ci sia via di scampo.
Vedi ad esempio questo esercizio
che mi ha passato il buon @Feddy (che ringrazio)...è davvero interessante perché se integri in un certo modo diventa superbanale, nell'altro devi fare conti e conti....
Magari posta il testo completo dell'esercizio e vediamo se si può aggirare l'ostacolo del calcolo esplicito della distribuzione di $XY$
$F_Z(z)=int_(0)^(+oo)theta e^(-thetax)dxint_(0)^(z/x) lambdae^(-lambday)dy$
Ad ogni modo con il metodo grafico non devi calcolare l'area sotto l'iperbole ma devi fare l'integrale doppio della densità congiunta sul dominio dato dall'area sotto l'iperbole....
ovviamente anche con l'altro metodo stesso problema....
a volte il problema si risolve cambiando l'ordine di integrazione...ma qui pare non ci sia via di scampo.
Vedi ad esempio questo esercizio
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
che mi ha passato il buon @Feddy (che ringrazio)...è davvero interessante perché se integri in un certo modo diventa superbanale, nell'altro devi fare conti e conti....
Magari posta il testo completo dell'esercizio e vediamo se si può aggirare l'ostacolo del calcolo esplicito della distribuzione di $XY$
L'unica altra cosa che so è che tale problema appartiene alla categoria dei problemi che si risolvono mediante l'integrale di convoluzione.
In particolare, sotto le stesse ipotesi che ho dato inizialmente, si vuole calcolare la densità di probabilità nei seguenti 3 casi:
1) $Z=X+Y$
Dal fatto che $y=z-x$, le densità marginali di Z sono:
$$f_X(x)=\begin{cases}
\lambda_1e^{-\lambda_1x} & \mbox{se } x>0\\
0 & \mbox{se } x\leq 0\end{cases}$$
e
$$f_Y(z-x)=\begin{cases}
\lambda_2e^{-\lambda_2(z-x)} & \mbox{se } z-x>0\\
0 & \mbox{se } z-x\leq 0\end{cases}$$
Da cui, considerando $x < z$ l'integrale di convoluzione è:
$$f_Z(z)=\int_0^zf_X(x)*f_Y(z-x)\ dx$$
2) $Z=X-Y$
Dal fatto che $y=x-z$, le densità marginali di Z sono:
$$f_X(x)=\begin{cases}
\lambda_1e^{-\lambda_1x} & \mbox{se } x>0\\
0 & \mbox{se } x\leq 0\end{cases}$$
e
$$f_Y(x-z)=\begin{cases}
\lambda_2e^{-\lambda_2(x-z)} & \mbox{se } x-z>0\\
0 & \mbox{se } x-z\leq 0\end{cases}$$
Da cui, considerando $x > z$ l'integrale di convoluzione è:
$$f_Z(z)=\int_z^{+\infty}f_X(x)*f_Y(x-z)\ dx$$
3)Infine, il nostro caso $Z=X*Y$
con $y=\frac{z}{x}$, con densità marginali
$$f_X(x)=\begin{cases}
\lambda_1e^{-\lambda_1x} & \mbox{se } x>0\\
0 & \mbox{se } x\leq 0\end{cases}$$
e
$$f_Y(\frac{z}{x})=\begin{cases}
\lambda_2e^{-\lambda_2\frac{z}{x}} & \mbox{se } \frac{z}{x}>0\\
0 & \mbox{se } \frac{z}{x}\leq 0\end{cases}$$
Ma non so se in questo ultimo caso si possa applicare l'integrale di convoluzione...
In particolare, sotto le stesse ipotesi che ho dato inizialmente, si vuole calcolare la densità di probabilità nei seguenti 3 casi:
1) $Z=X+Y$
Dal fatto che $y=z-x$, le densità marginali di Z sono:
$$f_X(x)=\begin{cases}
\lambda_1e^{-\lambda_1x} & \mbox{se } x>0\\
0 & \mbox{se } x\leq 0\end{cases}$$
e
$$f_Y(z-x)=\begin{cases}
\lambda_2e^{-\lambda_2(z-x)} & \mbox{se } z-x>0\\
0 & \mbox{se } z-x\leq 0\end{cases}$$
Da cui, considerando $x < z$ l'integrale di convoluzione è:
$$f_Z(z)=\int_0^zf_X(x)*f_Y(z-x)\ dx$$
2) $Z=X-Y$
Dal fatto che $y=x-z$, le densità marginali di Z sono:
$$f_X(x)=\begin{cases}
\lambda_1e^{-\lambda_1x} & \mbox{se } x>0\\
0 & \mbox{se } x\leq 0\end{cases}$$
e
$$f_Y(x-z)=\begin{cases}
\lambda_2e^{-\lambda_2(x-z)} & \mbox{se } x-z>0\\
0 & \mbox{se } x-z\leq 0\end{cases}$$
Da cui, considerando $x > z$ l'integrale di convoluzione è:
$$f_Z(z)=\int_z^{+\infty}f_X(x)*f_Y(x-z)\ dx$$
3)Infine, il nostro caso $Z=X*Y$
con $y=\frac{z}{x}$, con densità marginali
$$f_X(x)=\begin{cases}
\lambda_1e^{-\lambda_1x} & \mbox{se } x>0\\
0 & \mbox{se } x\leq 0\end{cases}$$
e
$$f_Y(\frac{z}{x})=\begin{cases}
\lambda_2e^{-\lambda_2\frac{z}{x}} & \mbox{se } \frac{z}{x}>0\\
0 & \mbox{se } \frac{z}{x}\leq 0\end{cases}$$
Ma non so se in questo ultimo caso si possa applicare l'integrale di convoluzione...
sicuro che non sia $Z=X/Y$??
prova a chiedere spiegazioni....perché così ad occhi la distribuzione di $Z=XY$ partendo da marginali esponenziali mi sembra complicata.... se invece ti confermano che è possibile risolverlo allora ci penserò.
per il calcolo delle trasformazioni $X/Y$ e $XY$ c'è già l'integrale bello e pronto....ma come hai già osservato anche tu non è risolvibile con integrazioni elementari....
prova a chiedere spiegazioni....perché così ad occhi la distribuzione di $Z=XY$ partendo da marginali esponenziali mi sembra complicata.... se invece ti confermano che è possibile risolverlo allora ci penserò.
per il calcolo delle trasformazioni $X/Y$ e $XY$ c'è già l'integrale bello e pronto....ma come hai già osservato anche tu non è risolvibile con integrazioni elementari....
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Ok chiederò spiegazioni al riguardo. Comunque il seguente caso è impostato bene?
"mbistato":
2) $Z=X-Y$
Dal fatto che $y=x-z$, le densità marginali di Z sono:
$$f_X(x)=\begin{cases}
\lambda_1e^{-\lambda_1x} & \mbox{se } x>0\\
0 & \mbox{se } x\leq 0\end{cases}$$
e
$$f_Y(x-z)=\begin{cases}
\lambda_2e^{-\lambda_2(x-z)} & \mbox{se } x-z>0\\
0 & \mbox{se } x-z\leq 0\end{cases}$$
Da cui, considerando $x > z$ l'integrale di convoluzione è:
$$f_Z(z)=\int_z^{+\infty}f_X(x)*f_Y(x-z)\ dx$$
mmmhh no. Qui devi fare attenzione al fatto che $Z in R$
Gli integrali di convoluzione di somma e differenza sono questi
ma per il calcolo effettivo devi stare un po' attento....si può fare sia con il metodo grafico (che mi piace di più) sia con il metodo dello jacobiano, con le dovute cautele sugli estremi di integrazione
io con il metodo grafico integrerei la PDF congiunta (prodotto delle marginali) nell'area colorata trovando così la CDF di Z=X-Y
Gli integrali di convoluzione di somma e differenza sono questi
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ma per il calcolo effettivo devi stare un po' attento....si può fare sia con il metodo grafico (che mi piace di più) sia con il metodo dello jacobiano, con le dovute cautele sugli estremi di integrazione
io con il metodo grafico integrerei la PDF congiunta (prodotto delle marginali) nell'area colorata trovando così la CDF di Z=X-Y
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"tommik":
io con il metodo grafico integrerei la PDF congiunta (prodotto delle marginali) nell'area colorata trovando così la CDF di Z=X-Y
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Quindi, per $z<0$ avrei
$$F_Z(z)=\int_0^{+\infty}dx\int_{x-z}^{+\infty}\lambda_1e^{-\lambda_1x}\lambda_2e^{-\lambda_2y}\ dy$$
Mentre per $z>0$
$$F_Z(z)=\int_0^{z}dx\int_{0}^{+\infty}\lambda_1e^{-\lambda_1x}\lambda_2e^{-\lambda_2y}\ dy+\int_z^{+\infty}dx\int_{x-z}^{+\infty}\lambda_1e^{-\lambda_1x}\lambda_2e^{-\lambda_2y}\ dy$$
Sì ok!
Oppure integri y-semplice così non devi partizionare l'integrale doppio ma fai (per $z>0$)
$F_Z = int _(0)^(+oo)f_Y dyint_(0)^(y+z)f_X dx $
Oppure usi lo jacobiano...
${{: ( z=x-y ),( w=x ) :} rarr{{: ( x=w ),( y=w-z ) :}rarr{{: ( w>0 ),( w>z ) :}$
quindi se
$z<0$ integri $f_Z=int_(0)^(+oo)f_(ZW)(z,w)dw$
$z>0$ integri $f_Z=int_(z)^(+oo)f_(ZW)(z,w)dw$
dato che lo jacobiano è 1 la formula è proprio la convoluzione.
Nel caso in esame $f_(ZW)(z,w)=theta lambdae^(lambdaz)e^(-w(theta+lambda))$
avendo posto (tanto per non appesantire la notazione con i pedici dei parametri)
$f_X=thetae^(-thetax)$
$f_Y=lambdae^(-lambday)$
Tutti metodi che ti ho illustrato sono equivalenti. Alla fine trovi che
$f_(Z)(z)-={{: ( (thetalambda)/(theta+lambda)e^(lambdaz) , ;z<=0 ),( (thetalambda)/(theta+lambda)e^(-thetaz) , ;z>0 ) :}$
Se invece i due parametri sono uguali, allora ti risulta una Distribuzione di Laplace
$f_Z=theta/2 e^(-theta|z|)$
$z in R$
Ps: fammi sapere la $Z=XY $ partendo da due esponenziali perché sei già il secondo utente che la chiede e non sono ancora riuscito a calcolarla
Oppure integri y-semplice così non devi partizionare l'integrale doppio ma fai (per $z>0$)
$F_Z = int _(0)^(+oo)f_Y dyint_(0)^(y+z)f_X dx $
Oppure usi lo jacobiano...
${{: ( z=x-y ),( w=x ) :} rarr{{: ( x=w ),( y=w-z ) :}rarr{{: ( w>0 ),( w>z ) :}$
quindi se
$z<0$ integri $f_Z=int_(0)^(+oo)f_(ZW)(z,w)dw$
$z>0$ integri $f_Z=int_(z)^(+oo)f_(ZW)(z,w)dw$
dato che lo jacobiano è 1 la formula è proprio la convoluzione.
Nel caso in esame $f_(ZW)(z,w)=theta lambdae^(lambdaz)e^(-w(theta+lambda))$
avendo posto (tanto per non appesantire la notazione con i pedici dei parametri)
$f_X=thetae^(-thetax)$
$f_Y=lambdae^(-lambday)$
Tutti metodi che ti ho illustrato sono equivalenti. Alla fine trovi che
$f_(Z)(z)-={{: ( (thetalambda)/(theta+lambda)e^(lambdaz) , ;z<=0 ),( (thetalambda)/(theta+lambda)e^(-thetaz) , ;z>0 ) :}$
Se invece i due parametri sono uguali, allora ti risulta una Distribuzione di Laplace
$f_Z=theta/2 e^(-theta|z|)$
$z in R$
Ps: fammi sapere la $Z=XY $ partendo da due esponenziali perché sei già il secondo utente che la chiede e non sono ancora riuscito a calcolarla
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