Distribuzione del prodotto di variabili aleatorie
Vorrei risolvere un po il seguente dubbio.
Siano \(\displaystyle X \) uniforme continua su \(\displaystyle (0,2) \) e \(\displaystyle Y \) esponenziale di paramentro \(\displaystyle \lambda = 2 \) con \(\displaystyle f_Y(y)=\lambda e^{-\lambda y} \) indipendenti tra loro
Ho che \(\displaystyle f_{X+Y}(z)=\begin{cases}\int_{0}^{z}f_X(s)f_Y(z-s)ds\quad z\leq 2\\\int_{0}^{2}f_X(s)f_Y(z-s)ds\quad z>2\end{cases} \) e fin qui ci siamo.
Invece per \(\displaystyle f_{XY}(z)=? \) e per \(\displaystyle f_{XX}(z)=? \) e per \(\displaystyle f_{YY}(z)=? \) o più che altro c'è un qualche strumento che mi può aiutare a risolvere questa cosa?
perchè mi verrebbe, a rigor di logica, da pensare che \(\displaystyle f_{XX}(z)=f_X(\sqrt{z})^2=\frac{1}{4} \)
e di conseguenza che \(\displaystyle f_{YY}(z)=f_Y(\sqrt{z})^2=\lambda^2 e^{-2\lambda\sqrt{z}} \)
Non so se è giusto o no
Siano \(\displaystyle X \) uniforme continua su \(\displaystyle (0,2) \) e \(\displaystyle Y \) esponenziale di paramentro \(\displaystyle \lambda = 2 \) con \(\displaystyle f_Y(y)=\lambda e^{-\lambda y} \) indipendenti tra loro
Ho che \(\displaystyle f_{X+Y}(z)=\begin{cases}\int_{0}^{z}f_X(s)f_Y(z-s)ds\quad z\leq 2\\\int_{0}^{2}f_X(s)f_Y(z-s)ds\quad z>2\end{cases} \) e fin qui ci siamo.
Invece per \(\displaystyle f_{XY}(z)=? \) e per \(\displaystyle f_{XX}(z)=? \) e per \(\displaystyle f_{YY}(z)=? \) o più che altro c'è un qualche strumento che mi può aiutare a risolvere questa cosa?
perchè mi verrebbe, a rigor di logica, da pensare che \(\displaystyle f_{XX}(z)=f_X(\sqrt{z})^2=\frac{1}{4} \)
e di conseguenza che \(\displaystyle f_{YY}(z)=f_Y(\sqrt{z})^2=\lambda^2 e^{-2\lambda\sqrt{z}} \)
Non so se è giusto o no
Risposte
"Ub4thaan":
perchè mi verrebbe, a rigor di logica, da pensare che \(\displaystyle f_{XX}(z)=f_X(\sqrt{z})^2=\frac{1}{4} \)
e di conseguenza che \(\displaystyle f_{YY}(z)=f_Y(\sqrt{z})^2=\lambda^2 e^{-2\lambda\sqrt{z}} \)
Non so se è giusto o no
No, è sbagliato
$f_(X^2)(z)=1/(4sqrt(z))mathbb{1}_((0;4))(z)$
$f_(Y^2)(z)=lambda/(2sqrt(z))e^(-lambda sqrt(z))mathbb{1}_((0;+oo))(z)$
( Scusa l'intromissione @tommik)
@Ub4thaan
Nel caso della r.v. $X^2(\omega)$, ti conviene calcolarti la cdf $P(X^2(\omega) \leq z)$ e poi derivarla rispetto a $z$ per trovare la densità, stando attento al supporto, come ha fatto tommik. In fin dei conti è il procedimento standard, ma troppo spesso ce lo si dimentica
@Ub4thaan
Nel caso della r.v. $X^2(\omega)$, ti conviene calcolarti la cdf $P(X^2(\omega) \leq z)$ e poi derivarla rispetto a $z$ per trovare la densità, stando attento al supporto, come ha fatto tommik. In fin dei conti è il procedimento standard, ma troppo spesso ce lo si dimentica
Quindi diciamo che il passaggio completo è partendo da
\(\displaystyle P(X^2\leq z)\to P(X\leq\sqrt{z})\to F_X(\sqrt{z})\to \frac{d}{dz}F_X(\sqrt{z})\to F_X'(\sqrt{z})\frac{d\sqrt{z}}{dz}=f_X(\sqrt{z})\frac{d\sqrt{z}}{dz} \)
Dove \(\displaystyle X \) è una V.A. continua
Quindi per \(\displaystyle f_{XY}(z) \) i passaggi dovrebbero essere
\(\displaystyle P(XY\leq z)\to P\left(X\leq\frac{z}{Y}\right)\to F_X\left(\frac{z}{y}\right)f_Y(y)\to \frac{d}{dz}F_X\left(\frac{z}{y}\right)f_Y(y)\to F_X'\left(\frac{z}{y}\right)f_Y(y)\frac{d}{dz}\left(\frac{z}{y}\right)=f_X\left(\frac{z}{y}\right)f_Y(y)\frac{1}{y} \)
o equivalentemente
\(\displaystyle =f_Y\left(\frac{z}{x}\right)f_X(x)\frac{1}{x} \)
O sbaglio?
Stando comunque sempre attento al supporto
\(\displaystyle P(X^2\leq z)\to P(X\leq\sqrt{z})\to F_X(\sqrt{z})\to \frac{d}{dz}F_X(\sqrt{z})\to F_X'(\sqrt{z})\frac{d\sqrt{z}}{dz}=f_X(\sqrt{z})\frac{d\sqrt{z}}{dz} \)
Dove \(\displaystyle X \) è una V.A. continua
Quindi per \(\displaystyle f_{XY}(z) \) i passaggi dovrebbero essere
\(\displaystyle P(XY\leq z)\to P\left(X\leq\frac{z}{Y}\right)\to F_X\left(\frac{z}{y}\right)f_Y(y)\to \frac{d}{dz}F_X\left(\frac{z}{y}\right)f_Y(y)\to F_X'\left(\frac{z}{y}\right)f_Y(y)\frac{d}{dz}\left(\frac{z}{y}\right)=f_X\left(\frac{z}{y}\right)f_Y(y)\frac{1}{y} \)
o equivalentemente
\(\displaystyle =f_Y\left(\frac{z}{x}\right)f_X(x)\frac{1}{x} \)
O sbaglio?
Stando comunque sempre attento al supporto
"Ub4thaan":
Quindi per \(\displaystyle f_{XY}(z) \) i passaggi dovrebbero essere.....O sbaglio?
sbagli. Questa è una trasformazione di Vettori Aleatori.
Prima domanda: è un esercizio che ti hanno somministrato o te lo sei inventato?
non ti sei chiesto come mai ho messo le soluzioni degli altri due casi e di questo no? Pensi che me ne sia dimenticato?
In generale, posto $Z=XY$ la soluzione è questa
$F_Z(z)=intint_(XY<=z)f(x)f(y)dxdy$
Così, a prima vista, non mi pare possibile trovare una forma elementare per tale legge[nota]infatti, anche senza fare tutti i conti ma guardando un po' più in là....sia che integri prima rispetto ad un asse o rispetto all'altro, ad un certo punto ti scontri con uno dei seguenti integrali
$int_a^be^(-1/x)dx$
$int_a^(+oo)e^(-y)/y dy$
entrambi che non ammettono primitiva esprimibile elementarmente....[/nota]....
Quindi: Se è un esercizio che ti hanno dato da fare, posta per bene tutta la traccia che vediamo cosa effettivamente vuole (nel caso ci penso meglio)....se te lo sei inventato....(mi cascano le braccia) mi pare una cattiva idea: sul forum avrò risolto almeno 1000 esercizi sulle trasformazioni, alcuni anche parecchio complessi....non vedo l'esigenza di inventarsi a piè pari degli esercizi.....
facci sapé
\(\displaystyle Z=XY \) me lo sono "inventato" di sana pianta, o più che altro è una parte in più rispetto a quello che venica chiesto nel testo originale dell'esercizio, quindi, vedendone la difficoltà è abbastanza improbabile che lo chieda visto che si tratta di integrali su superfici.
Non penso che te ne sei dimenticato, ma ho pensato che magari avendo un filo conduttore per un caso più semplice potevo ricavarmi il caso più complesso sforzandomi e facendo un ragionamento mio
Non penso che te ne sei dimenticato, ma ho pensato che magari avendo un filo conduttore per un caso più semplice potevo ricavarmi il caso più complesso sforzandomi e facendo un ragionamento mio
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo