Distribuzione del prodotto

[philipcool]

Buongiorno a tutti,

se io ho due variabili aleatorie assolutamente continue $X$ che ha f di densità $f(x)$ e $Y$ che ha che ha f di densità $g(x)$ indipendenti tra di loro come posso calcolare la f di densità di $Z=XY$ ?
se le variabili fossero invece dipendenti tar di loro come si farebbe?

ho cercato su diversi libri questo argomento, ho trovato per esempio data $X$ v.a. con f di densità $f(x)$ come trovare la f di densità di una trasformata per esmpio $X^2 + 1$ ma mai riguardo il prodotto di due v.a.

Qualcuno saprebbe aiutarmi?

Grazie in anticipo

[andra_zx]

non vorrei aver frainteso il problema e darti un consiglio totalemente sbagliato, però secondo me la questione è semplice.
Se sono indipendenti hai: $P(Z) = P(XY) = P(X,Y) = P(X)P(Y)$
Quello che ho pensato è che laprobabilità di un prodotto di v.a. corrisponda alla probabilità congiunta tra le 2 (sarebbe il passaggio $P(XY) = P(X,Y)$ )
Se questo ragionamento è giusto, basta usare la definizine di prob. congiunta per risolvere il caso in cui siano dipendenti..

In qualunque caso aspetta conferma da qualcuno che ne sà più di me

[philipcool]

non era esattamento quello che ho chiesto, riformulo:

Poniamo $X$ v.a. con f di densità $f(x)$ e f ripartizione $F(x)=P(X Se $X$ e $Y$ sono indipendenti allora sono daccordo che la funzione di densità congiunta è $h(x,y)=f(x)g(y)$. in questo modo sto però definendo la funzione di densità un un ente aleatorio (non più variabile aleatoria, infatti le variabile aleatorie sono casi particolari di enti aleatori) detto "coppia". La f di ripartizione della coppia sarà $H(x,y)=P(X
Io mi sto chiedendo come trovare la f di ripartizione e quindi se esiste quella di densità della v.a. $Z=XY$ quindi $F(z)=P(Z
Non ho bene capito cosa vuol dire che $P(XY)=P(X)P(Y)$. penso che tu ti confonda con $E(XY)=E(X)E(Y)$ se X e Y sono indipendenti. infatti ha senso parlare di probabilità su eventi tipo $P(X=x)$ ma scrivere $P(X)$ con X v.a. non mi sa dire molto. Forse mi sbaglio eh.

[philipcool]

correggo H(x,y)=P(X

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[andra_zx]

si scusa mi sono estresso male, per $P(X)$ intendevo $P(X = x)$. Quello che volevo dire era che certamente $P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y)$ in caso di indipendenza.. ma in effetti ho sbagliato di brutto la considerazione $P(XY = z) = P(X = x, Y = y)$

EDIT: in qualunque caso $XY = z$ è un' iperbole, quindi ha senso cercare $P(XY < z)$

[philipcool]

nessuno sa aiutarmi?

[Rggb1]

"philipcool":ho cercato su diversi libri questo argomento...

Evidentemente io ne ho un altro ancora. Sto ripassando tutta questa parte (con fatica immensa), e forse ho la risposta.

Io applicherei questo (copiancolla dal libro, quindi perdona la vetustà della terminologia):
TEO: Sia $f(x,y)$ la densità doppia di $X$ e $Y$. Allora la densità di $g(u)$ della vc. $U=Phi_1(X,Y)$ è data dalla derivata rispetto a $u$ della funzione di distribuzione:
$G(u)=P(Phi_1(X,Y)<=u)=int int f(x,y)\ dx\ dy$
con $R$ regione di integrazione per cui $Phi_1(x,y)<=u$

In pratica tu hai due vc. indipendenti e densità $f(x)$ e $g(y)$, quindi $f(x,y)=f(x)g(y)$

[ Se le vc. non sono indipendenti devi avere la densità doppia... per forza? ]

Pensi possa andare? Ho un esercizio risolto sul mio vecchio Spiegel. Attendiamo anche suggerimenti da qualcuno più ferrato.