Distribuzione congiunta in forma matriciale
Ciao a tutti, non riesco proprio a capire come impostare quest'esercizio:
Consideriamo due variabili aleatorie $X$ ed $Y$ che possono assumere i valori $[-1,1]$ e scriviamo la loro distribuzione congiunta in forma matriciale nella seguente maniera:
\begin{bmatrix}P(X=-1,Y=-1) & P(X=-1,Y=1)\\P(X=1,Y=-1) & P(X=1,Y=1)\end{bmatrix}
Quali delle seguenti matrici ad autentiche distribuzioni di probabilità? Tra di esse, in quali casi $X$ ed $Y$ sono indipendenti? Nei casi in cui siano indipendenti scrivete la funzione di ripartizione di $X$
a) \begin{bmatrix}1/2 & -1/2\\1/2 & 1/2\end{bmatrix}
b) \begin{bmatrix}2 & 1\\1 & 3\end{bmatrix}
c) \begin{bmatrix}1/2 & 1/2\\0 & 0\end{bmatrix}
d) \begin{bmatrix}2/15 & 1/5\\4/15 & 2/5\end{bmatrix}
Sarei molto grato se qualcuno sapesse spiegarmi come procedere o sapesse darmi qualche consiglio per impostare l'esercizio. Non riesco a capire come districarmi con le matrici in questa tipologia di esercizi. Grazie in anticipo
Consideriamo due variabili aleatorie $X$ ed $Y$ che possono assumere i valori $[-1,1]$ e scriviamo la loro distribuzione congiunta in forma matriciale nella seguente maniera:
\begin{bmatrix}P(X=-1,Y=-1) & P(X=-1,Y=1)\\P(X=1,Y=-1) & P(X=1,Y=1)\end{bmatrix}
Quali delle seguenti matrici ad autentiche distribuzioni di probabilità? Tra di esse, in quali casi $X$ ed $Y$ sono indipendenti? Nei casi in cui siano indipendenti scrivete la funzione di ripartizione di $X$
a) \begin{bmatrix}1/2 & -1/2\\1/2 & 1/2\end{bmatrix}
b) \begin{bmatrix}2 & 1\\1 & 3\end{bmatrix}
c) \begin{bmatrix}1/2 & 1/2\\0 & 0\end{bmatrix}
d) \begin{bmatrix}2/15 & 1/5\\4/15 & 2/5\end{bmatrix}
Sarei molto grato se qualcuno sapesse spiegarmi come procedere o sapesse darmi qualche consiglio per impostare l'esercizio. Non riesco a capire come districarmi con le matrici in questa tipologia di esercizi. Grazie in anticipo
Risposte
Davvero molto molto semplice.
Autentiche distribuzioni bivariate? ogni elemento all'interno deve essere $0<=(x_i,y_j)<=1$ e la somma deve dare 1, come sempre[nota]In tutta onestà potrebbe essere una distribuzione anche la matrice con tutti i valori maggiori o uguali di uno; potrebbero infatti essere delle frequenze assolute, probabilizzabili dividendo ogni numero per il totale...ma non penso che il testo voglia includere questo caso[/nota].
Sommi per riga e per colonna trovando le marginali.....le due variabili sono indipendenti se e solo se ogni valore all'interno della tabella è il prodotto dei due valori marginali
La distribuzione marginale si legge appunto ai margini della tabella.
Prendiamo ad esempio il caso d)
tutti i valori dentro la tabella (le probabilità congiunte) sono davvero probabilità, essendo valori compresi fra zero e uno e la loro somma fa uno
Questa è un'autentica distribuzione di probabilità bivariata discreta. Inoltre ogni valore all'interno è pari al prodotto dei valori ai margini....quindi vale sempre $p(x,y)=p(x)p(y) harr$ le variabili $X,Y$ sono indipendenti.
La variabile X, come vedi dalla tabella che ti ho indicato, vale $+-1$ con probabilità ${2/3;1/3}$ rispettivamente. Per scrivere la Funzione di Ripartizione non dovresti avere problemi.
saluti
Autentiche distribuzioni bivariate? ogni elemento all'interno deve essere $0<=(x_i,y_j)<=1$ e la somma deve dare 1, come sempre[nota]In tutta onestà potrebbe essere una distribuzione anche la matrice con tutti i valori maggiori o uguali di uno; potrebbero infatti essere delle frequenze assolute, probabilizzabili dividendo ogni numero per il totale...ma non penso che il testo voglia includere questo caso[/nota].
Sommi per riga e per colonna trovando le marginali.....le due variabili sono indipendenti se e solo se ogni valore all'interno della tabella è il prodotto dei due valori marginali
La distribuzione marginale si legge appunto ai margini della tabella.
Prendiamo ad esempio il caso d)
tutti i valori dentro la tabella (le probabilità congiunte) sono davvero probabilità, essendo valori compresi fra zero e uno e la loro somma fa uno
Questa è un'autentica distribuzione di probabilità bivariata discreta. Inoltre ogni valore all'interno è pari al prodotto dei valori ai margini....quindi vale sempre $p(x,y)=p(x)p(y) harr$ le variabili $X,Y$ sono indipendenti.
La variabile X, come vedi dalla tabella che ti ho indicato, vale $+-1$ con probabilità ${2/3;1/3}$ rispettivamente. Per scrivere la Funzione di Ripartizione non dovresti avere problemi.
saluti
Grazie tante tommik sei un portento nel far capire le cose 
Ora mi è tutto più chiaro ed approffitto della tua disponibilità scrivendoti la funzione di ripartizione per il caso d)
$F_x(x)=0$ se $x<-1$
$F_x(x)=1/3$ se $-1<=x<1$
$F_x(x)=1$ se $x>=1$
è corretto?
ancora grazie
P.S. Non ho capito la tua nota
Ora mi è tutto più chiaro ed approffitto della tua disponibilità scrivendoti la funzione di ripartizione per il caso d)
$F_x(x)=0$ se $x<-1$
$F_x(x)=1/3$ se $-1<=x<1$
$F_x(x)=1$ se $x>=1$
è corretto?
ancora grazie
P.S. Non ho capito la tua nota
"Blitz87":
P.S. Non ho capito la tua nota
la tabella del caso b) evidentemente non è una distribuzione di probabilità perché i valori sono tutti $>=1$ ma se consideriamo tali valori come delle frequenze assolute, ovvero come una distribuzione secondo due caratteri sul totale di 7 osservazioni allora possiamo dividere tutto per 7 ottenendo la tabella di destra
Che è un'autentica distribuzione di probabilità (anzi probabilità empirica, essendo stata derivata da osservazioni campionarie)
Ovviamente tutto va contestualizzato....
Ah ecco tutto più chiaro grazie!
Quindi seguendo le richieste del testo dovrei indicare i soli casi c) e d) come autentiche distribuzioni ma, tenendo conto della tua nota, anche il caso b) se modulato ad hoc, giusto?
tutto più chiaro grazie!Quindi seguendo le richieste del testo dovrei indicare i soli casi c) e d) come autentiche distribuzioni ma, tenendo conto della tua nota, anche il caso b) se modulato ad hoc, giusto?
sì esatto. il caso b) differisce da una distribuzione di probabilità solo per una costante moltiplicativa $C=1/7$
Tutto chiaro! Grazie
"Blitz87":
Grazie tante tommik sei un portento nel far capire le cose
Ora mi è tutto più chiaro ed approffitto della tua disponibilità scrivendoti la funzione di ripartizione per il caso d)
$F_x(x)=0$ se $x<-1$
$F_x(x)=1/3$ se $-1<=x<1$
$F_x(x)=1$ se $x>=1$
è corretto?
ancora grazie
P.S. Non ho capito la tua nota
Guardandomi un po' di esercizi, mi sono imbattuto in questo, così mi permetto di upparlo.
Qual è il ragionamento per calcolare la funzione di ripartizione di X per quel caso d come visto qui sopra? Si parte dalle marginali mi pare, ma poi mi perdo.
Se è un procedimento lungo, mi accontento anche di qualche link da guardarmi!
e la miseria.....una volta che hai la pmf marginale (che leggi appunto ai margini della tabella) basta sommare le probabilità....
$f_X(x)={{: ( 1/3 , ;"if "x=-1 ),(2/3 , ;"if "x=1),( 0 ,;"altrove") :}$
$F_X(x)={{: ( 0 , ;"if "x<-1),( 1/3 ,; "if "-1<=x<1 ),( 1 ,; "if "x>=1) :}$
Dato che la variabile è discreta, concentra massa di probabilità solo nei punti dove è definita: $x=+-1$ e quindi la FdR sarà una funzione a gradini, con due salti in corripondenza dei punti $x=+-1$ e costante altrove.
Se invece devi calcolare la Funzione di Ripartizione bivariata (la Funzione di Ripartizione del vettore $(X,Y)$) allora devi sommare, prima per riga e poi per colonna, tutti i valori di probabilità interni alla tabella.
$f_X(x)={{: ( 1/3 , ;"if "x=-1 ),(2/3 , ;"if "x=1),( 0 ,;"altrove") :}$
$F_X(x)={{: ( 0 , ;"if "x<-1),( 1/3 ,; "if "-1<=x<1 ),( 1 ,; "if "x>=1) :}$
Dato che la variabile è discreta, concentra massa di probabilità solo nei punti dove è definita: $x=+-1$ e quindi la FdR sarà una funzione a gradini, con due salti in corripondenza dei punti $x=+-1$ e costante altrove.
Se invece devi calcolare la Funzione di Ripartizione bivariata (la Funzione di Ripartizione del vettore $(X,Y)$) allora devi sommare, prima per riga e poi per colonna, tutti i valori di probabilità interni alla tabella.
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