Distribuzione bivariata

[mobley]

C'è un punto di un esercizio in cui chiede di determinare il valore della costante $c$ nota la densità congiunta $f(x,y)=c(y^2-x^2)e^(-y)$ e gli intervalli $-y<=x<=y$, $0 Ritengo che il procedimento sia corretto ma non capisco perchè non arrivo al risultato ($c=1/8$) bensì ad un'equazione di quarto grado irriducibile.
Mi limito ad applicare la definizione di densità congiunta continua e ottengo:

$F_(XY)(x,y)=\mathbb(P)[(-y<=X<=y)nn (0

$=\mathbb(P)[0<=X<=Y<\infty]=c\int_(x)^(+\infty)[\int_(0)^(y)(y^2-x^2)e^(-y)dx]dy$

Risolvendo il primo integrale ottengo $2/3y^3e^(-y)$, mentre risolvendo ripetutamente per parti il secondo integrale ottengo $c[4x^4-4x^3-2x+1]=0$.
Dove sbaglio?

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Risposte

mobley

26 set 2019, 08:38

"arnett":[quote="mobley"]

$F_(XY)(x,y)=\mathbb(P)[(-y<=X<=y)nn (0

Quest'uguaglianza è falsa e non capisco da dove salti fuori, per il resto ciò che bisogna imporre è che \[\int_{\mathbb{R}^2} f_{(X, Y)}(x, y) dxdy=1\]. Questa risulta essere un'equazione di primo grado in $c$: $x$ e $y$ devono sparire integrando. Riprova postando qualche calcolo.[/quote]

Si, in effetti lo è Comunque non l'ho nemmeno guardata con attenzione a dire il vero… Come hai detto tu ho uguagliato l'integrale doppio su $\mathbb(R)$ a 1 e ho svolto i calcoli. Mi serviva soltanto la probabilità congiunta per cercare gli intervalli di integrazione corretti per le due variabili. Per farti un esempio, nel caso univariato con $f(x)=c|x|,\forall x\in[-1,1]$, avevo:

$1=\int_(\mathbb(R))f(x)dx=\int_(-\infty)^(-1)f(x)dx+\int_(-1)^(1)f(x)dx+\int_(1)^(+\infty)f(x)dx=\int_(-1)^(1)f(x)dx rArr c=1$

con l'intervallo di integrazione che corrispondeva esattamente all'intervallo di definizione della densità. Quindi ho cercato di replicare lo stesso ragionamento nel caso bivariato: siccome $\mathbb(P)[(-y<=X<=y) nn (0


Quindi dall'integrale più interno ottengo $2/3y^3e^(-y)$, e via degenerando (purtroppo) con l'integrale più esterno e con ripetute integrazioni per parti.
Riproverò adesso a fare i conti anche per questo esercizio e vedrò di postare i risultati.

[ot]Diverse fonti: 1) appunti del docente; 2) Probabilità e Statistica per ingegneria e scienze - Boella; 3) Statistica - Piccolo; 4) Probabilità e Statistica - Piazza; 5) Calcolo delle probabilità - Sheldon Ross; 6) Calcolo delle probabilità - Dall'Aglio + gli appunti miei e di un collega[/ot]

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Lo_zio_Tom

26 set 2019, 09:15

Va beh dai...se no 'sto stillicidio non finisce più.

Mai visto in tutta la tua carriera la Gamma di Eulero?

Se dovessi risolvere $int_0^(+oo)y^100e^(-y)dy$ che fai? lo fai 100 volte per parti?

L'integrale in questione si risolve in due passaggi nel seguente modo



$int_(0)^(+oo)dyint_(-y)^(y)[y^2e^(-y)-x^2e^(-y)]dx=2int_0^(+oo)y^3e^(-y)dy-2/3int_0^(+oo)y^3e^(-y)dy=2xx3!-2/3xx3! =8$

da cui evidentemente $c=1/8$

Con l'uso della medesima funzione gamma risolvi in due passaggi anche l'esercizio precedente (quello sulla poisson condizionata)

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mobley

26 set 2019, 15:47

Grazie ad entrambi per le risposte.
Si, ho decisamente sentito parlare di Gamma di Eulero ( ) ma non credevo che il suo utilizzo fosse così diffuso. E' quindi chiaro che grazie alla Gamma gran parte degli integrali si risolvono immediatamente.

"arnett":Pure l'altro esempio che tu dici, $int_{\RR} |x|\mathbb{I}_{(-1,1)}(x)dx$, non c'è bisogno di fare integrali.

In realtà qui, sempre partendo dalla normalizzazione, ho usato la linearità dell'integrale e la definizione di modulo ponendo $-x$ dove è negativo e $x$ dove è positivo. Quindi $c=1$.

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mobley

1 ott 2019, 13:25

"tommik":no. bisogna fare il disegno e poi ragionare

Eh, io ci sto provando ma non ci riesco. In questo caso ho fatto così:



In quello dove invece l'altro giorno mi hai aiutato a trovare la costante di $f(x,y)=c(y^2-x^2)e^(-y)$, sto provando a ragionare graficamente come mi hai consigliato (mi rendo conto di quanto in effetti sia importante) ma non ci arrivo. Scelgo di integrare prima rispetto ad $x$, cioè per $-y<=x<=y$, e ok. Graficamente $x$ è compreso nel segmento $(-y,y)$ e $(-\infty,+\infty)$, per cui la variabile "semplice" in $y$ dovrebbe avere come intervallo di integrazione gli estremi dell'area aggiuntiva, cioè $(y,+\infty)$. Eppure l'integrale esterno è tra $0$ e $+\infty$.
Scelgo invece di integrare prima rispetto ad $y$, cioè per $0

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Lo_zio_Tom

1 ott 2019, 14:09

Come detto e ripetuto....non si può fare Statistica con queste fragili basi matematiche.....anzi, di può farla, passando anche l'esame, ma non si può comprenderla.

(click per ingrandire)


Integrazione y-semplice (consigliata)

$int_0^(+oo)dyint_(-y)^(y)f(x,y)dx$

Integrazione x-semplice (sconsigliata)

$int_(-oo)^0dx int_(-x)^(+oo)f(x,y)dy+int_(0)^(+oo)dx int_(x)^(+oo)f(x,y)dy$

Non è consentito inserire immagini al posto delle formule.....cerco di essere paziente ma la pazienza non è infinita....

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[mobley]

"arnett":[quote="mobley"]

$F_(XY)(x,y)=\mathbb(P)[(-y<=X<=y)nn (0

Quest'uguaglianza è falsa e non capisco da dove salti fuori, per il resto ciò che bisogna imporre è che \[\int_{\mathbb{R}^2} f_{(X, Y)}(x, y) dxdy=1\]. Questa risulta essere un'equazione di primo grado in $c$: $x$ e $y$ devono sparire integrando. Riprova postando qualche calcolo.[/quote]

Si, in effetti lo è Comunque non l'ho nemmeno guardata con attenzione a dire il vero… Come hai detto tu ho uguagliato l'integrale doppio su $\mathbb(R)$ a 1 e ho svolto i calcoli. Mi serviva soltanto la probabilità congiunta per cercare gli intervalli di integrazione corretti per le due variabili. Per farti un esempio, nel caso univariato con $f(x)=c|x|,\forall x\in[-1,1]$, avevo:

$1=\int_(\mathbb(R))f(x)dx=\int_(-\infty)^(-1)f(x)dx+\int_(-1)^(1)f(x)dx+\int_(1)^(+\infty)f(x)dx=\int_(-1)^(1)f(x)dx rArr c=1$

con l'intervallo di integrazione che corrispondeva esattamente all'intervallo di definizione della densità. Quindi ho cercato di replicare lo stesso ragionamento nel caso bivariato: siccome $\mathbb(P)[(-y<=X<=y) nn (0


Quindi dall'integrale più interno ottengo $2/3y^3e^(-y)$, e via degenerando (purtroppo) con l'integrale più esterno e con ripetute integrazioni per parti.
Riproverò adesso a fare i conti anche per questo esercizio e vedrò di postare i risultati.

[ot]Diverse fonti: 1) appunti del docente; 2) Probabilità e Statistica per ingegneria e scienze - Boella; 3) Statistica - Piccolo; 4) Probabilità e Statistica - Piazza; 5) Calcolo delle probabilità - Sheldon Ross; 6) Calcolo delle probabilità - Dall'Aglio + gli appunti miei e di un collega[/ot]

[Lo_zio_Tom]

Va beh dai...se no 'sto stillicidio non finisce più.

Mai visto in tutta la tua carriera la Gamma di Eulero?

Se dovessi risolvere $int_0^(+oo)y^100e^(-y)dy$ che fai? lo fai 100 volte per parti?

L'integrale in questione si risolve in due passaggi nel seguente modo



$int_(0)^(+oo)dyint_(-y)^(y)[y^2e^(-y)-x^2e^(-y)]dx=2int_0^(+oo)y^3e^(-y)dy-2/3int_0^(+oo)y^3e^(-y)dy=2xx3!-2/3xx3! =8$

da cui evidentemente $c=1/8$

Con l'uso della medesima funzione gamma risolvi in due passaggi anche l'esercizio precedente (quello sulla poisson condizionata)

[mobley]

Grazie ad entrambi per le risposte.
Si, ho decisamente sentito parlare di Gamma di Eulero ( ) ma non credevo che il suo utilizzo fosse così diffuso. E' quindi chiaro che grazie alla Gamma gran parte degli integrali si risolvono immediatamente.

"arnett":Pure l'altro esempio che tu dici, $int_{\RR} |x|\mathbb{I}_{(-1,1)}(x)dx$, non c'è bisogno di fare integrali.

In realtà qui, sempre partendo dalla normalizzazione, ho usato la linearità dell'integrale e la definizione di modulo ponendo $-x$ dove è negativo e $x$ dove è positivo. Quindi $c=1$.

[mobley]

"tommik":no. bisogna fare il disegno e poi ragionare

Eh, io ci sto provando ma non ci riesco. In questo caso ho fatto così:



In quello dove invece l'altro giorno mi hai aiutato a trovare la costante di $f(x,y)=c(y^2-x^2)e^(-y)$, sto provando a ragionare graficamente come mi hai consigliato (mi rendo conto di quanto in effetti sia importante) ma non ci arrivo. Scelgo di integrare prima rispetto ad $x$, cioè per $-y<=x<=y$, e ok. Graficamente $x$ è compreso nel segmento $(-y,y)$ e $(-\infty,+\infty)$, per cui la variabile "semplice" in $y$ dovrebbe avere come intervallo di integrazione gli estremi dell'area aggiuntiva, cioè $(y,+\infty)$. Eppure l'integrale esterno è tra $0$ e $+\infty$.
Scelgo invece di integrare prima rispetto ad $y$, cioè per $0

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[Lo_zio_Tom]

Come detto e ripetuto....non si può fare Statistica con queste fragili basi matematiche.....anzi, di può farla, passando anche l'esame, ma non si può comprenderla.

(click per ingrandire)


Integrazione y-semplice (consigliata)

$int_0^(+oo)dyint_(-y)^(y)f(x,y)dx$

Integrazione x-semplice (sconsigliata)

$int_(-oo)^0dx int_(-x)^(+oo)f(x,y)dy+int_(0)^(+oo)dx int_(x)^(+oo)f(x,y)dy$

Non è consentito inserire immagini al posto delle formule.....cerco di essere paziente ma la pazienza non è infinita....