Distribuzione binomiale: dimostrazioni

[frons79]

Sia \(\displaystyle n=2m \) la dimensione della n-pla campionaria:
\[\displaystyle (X_1, ..., X_m, Y_1, ..., Y_m) \] tale che le prima m estrazioni campionarie indipendenti provengano dalla variabile X e le successive m dalla variabile Y, caratterizzate dalle seguenti distribuzioni di probabilità:

\(\displaystyle x_i \)	\(\displaystyle p(x_i \))
q	1

\(\displaystyle y_j \)	\(\displaystyle p(y_j) \)
p	1

Sia \(\displaystyle T \) il numero delle volte che nel campione si presenta il valore \(\displaystyle 1 \). Dimostrare che:
\[\displaystyle E(T)=m \]\[\displaystyle V(T)=npq \]
Io ho pensato subito ad una distribuzione binomiale per via della sua varianza (appunto \(\displaystyle npq \)) e del fatto che in questo caso i "successi" sarebbero i valori che assume T.
Però non sono riuscito a costruire la sua funzione di densità e quindi non riesco a impostare nessuna uguaglianza che mi permetta di dimostrare i due punti.
Suggerimenti?

[DajeForte]

Non cercare la distribuzione di T; l'esercizio ti chiede la media e la varianza.
Questo è abbastanza immediato se riesci ad esprimere T in funzione delle X e Y.

Dunque se le X e le Y valgono 0 o 1, come puoi scrivere il numero di variabili che sono uguali a 1 ( $ T=f(X_1,...,Y_m)$)?

[frons79]

"DajeForte":Dunque se le X e le Y valgono 0 o 1, come puoi scrivere il numero di variabili che sono uguali a 1 ( $ T=f(X_1,...,Y_m)$)?

E' proprio questo ciò che mi ha fatto bloccare, in effetti

[frons79]

"Sergio":\(mp+mq=mp+m(1-p)=mp+m-mp=m\).
Ti suggerisce qualcosa?

Mi suggerisce che per provare a costruire il valore atteso di T dovrei fare, tipo:\[\displaystyle \begin{split} T & = \frac{1}{2}n \Biggl [ \sum_{i=1}^n x_i p(x_i) + \sum_{j=1}^n y_j p(y_j) \Biggr ] \\ & = m [ p + q] \\ & = mp + mq \\ & = mp + m(1-p) \\ & = m \end{split} \]

Corretto??? E per quanto concerne la Varianza invece?