Distanza media dal bordo

[morgano2011]

Come si dovrebbe svolgere questo esercizio?

Viene scelto a caso uniformemente un punto nel cerchio di raggio 1; la distanza media dal bordo è ?

a) 1/4
b) 1/3
c) 2/5
d) 7/12

[robbstark1]

Assumo che tu sappia che se fai un esperimento di estrazione di un numero con $n$ possibili uscite, ciascuna con una certa probabilità, il valore medio limite è dato dalla somma di ciascuna uscita moltiplicata per la sua probabilità.

In questo caso le uscite sono tutti i numeri reali tra $0$ e $1$.
Puoi immaginare di fare un'approssimazione e considerare un numero finito di uscite, con una certa tolleranza. Ad esempio, supponi che le possibili uscite siano $0,05$, $0,15$, $0,25$, $0,35$, ..., $0,95$. Tutti i punti che ricadono nell'anello tra $r=0,10$ e $r=0,20$ li leggi come $0,15$. La probabilità che esca $0,15$ è allora data dal rapporto tra l'area del relativo anello e l'area del cerchio, e così vale per gli altri valori (tranne per il primo valore, dove hai un cerchio anzichè un anello).
Per aumentare la precisione della tua stima devi scegliere anelli sempre più sottili, al limite infinitesimi. Al limite:
- l'area di un'anello infinitesimo è $2 \pi r * dr$, dove $dr$ è lo spessore infinitesimo;
- la probabilità associata ad un anello è data dalla sua area diviso quella del cerchio, che è $\pi$, quindi è $2 r * dr$;
- la sommatoria si trasforma in integrale.

Quindi alla fine il valore medio della distanza dal centro si calcola:
$int_{0}^{1} p(r) * r \ dr = int_{0}^{1} 2r * r \ dr = ... = 2/3$
Il valore medio della distanza dal bordo sarà allora $1/3$.

Spero risulti chiaro.

[morgano2011]

si grazie, sei stato molto chiaro e preciso, ti ringrazio