Disposizioni ordinate
Ho 4 palline numerate da 1 a 4. Posso disporle in 24 modi diversi. Quante di queste disposizioni hanno almeno una pallina al posto giusto ? Per posto giusto si intende la 1 in prima posizione, la 2 in seconda, la 3 in terza, la 4 in quarta.
Ho risolto manualmente e se non ho commesso errori mi viene 6+3+3+3=15. Ma per un calcolo più veloce, cosa posso fare?
Ho risolto manualmente e se non ho commesso errori mi viene 6+3+3+3=15. Ma per un calcolo più veloce, cosa posso fare?
Risposte
benvenut* nel forum.
in maniera diretta dovresti distinguere i casi di esattamente 1,2,3(imp),4 palline al posto giusto.
io proverei a vedere gli scambi come cicli, e dunque quelli del tipo (1234) e (12)(34) non lasciano nessuna pallina al suo posto, (1)(234) lascia 1 pallina al suo posto, (1)(2)(34) lascia 2 palline al loro posto, (1)(2)(3)(4) lascia tutte le palline al loro posto.
in questa maniera potresti, ad esempio trovare i 6+3=9 modi che rispondono alla domanda contraria, e che confermano che 24-9=15 (anche se non ho capito da dove viene 6+3+3+3=15).
fammi sapere se è chiaro. spero di essere stata utile. ciao.
in maniera diretta dovresti distinguere i casi di esattamente 1,2,3(imp),4 palline al posto giusto.
io proverei a vedere gli scambi come cicli, e dunque quelli del tipo (1234) e (12)(34) non lasciano nessuna pallina al suo posto, (1)(234) lascia 1 pallina al suo posto, (1)(2)(34) lascia 2 palline al loro posto, (1)(2)(3)(4) lascia tutte le palline al loro posto.
in questa maniera potresti, ad esempio trovare i 6+3=9 modi che rispondono alla domanda contraria, e che confermano che 24-9=15 (anche se non ho capito da dove viene 6+3+3+3=15).
fammi sapere se è chiaro. spero di essere stata utile. ciao.
Il 6+3+3+3 esce perchè ho scritto le 24 disposizioni su carta, ed ho notato che ce ne sono 6 che iniziano con 1, 3 che iniziano con 2, 3 con 3 e 3 con 4.
Il tuo ragionamento piu o meno è chiaro, ma io cercavo una formula generale. Se ad esempio le palline sono 8?
Il tuo ragionamento piu o meno è chiaro, ma io cercavo una formula generale. Se ad esempio le palline sono 8?
non mi risulta che esista una formula generale come la puoi intendere tu, in base alla tua richiesta.
è certo che esistono varie formule che aiutano nei calcoli, nel senso che permettono di ricondursi a casi più semplici.
nello specifico della domanda, si potrebbero cercare i casi contrari studiando preliminarmente come 8 può essere ottenuto come somma di numeri tutti maggiori di 1.
è certo che esistono varie formule che aiutano nei calcoli, nel senso che permettono di ricondursi a casi più semplici.
nello specifico della domanda, si potrebbero cercare i casi contrari studiando preliminarmente come 8 può essere ottenuto come somma di numeri tutti maggiori di 1.
ad esempio 2-3-3, 4-4, 5-3, 6-2, 7-1
non capisco, pero'.
non capisco, pero'.
grazie per la pazienza 
prego.
7-1 non risponde a quanto detto (rappresenterebbe la categoria di cicli del tipo (1234567)(8) che a sua volta corrisponde alle permutazioni con 1 punto fisso e con gli altri 7 elementi che vanno ciclicamente in elementi diversi...). ce ne sono invece altre due. ripetendo anche quelle dette da te:
6+2, 5+3, 4+4, 4+2+2, 3+3+2, 2+2+2+2.
esaminiamo la prima. innanzitutto in $((8),(2))$ modi si possono scegliere i due elementi (ed i sei elementi), e poi i cicli di 6 elementi sono $(6-1)!$, perché ad esempio se si ha la stringa 123456, il numero 1 può avere 5 immagini, l'immagine di 1 ne può avere 4 e così via.
dunque, se non ho sbagliato i conti, i casi totali sarebbero $8!$,
i casi sfavorevoli $(8!)/(6!*2!)*5!*1!+(8!)/(5!*3!)*4!*2!+(8!)/(4!*4!)*3!*3!+(8!)/(4!*2!*2!)*3!*1!*1!+(8!)/(2!*2!*2!*2!)*1!*1!*1!*1!$
spero di non avere scritto sciocchezze e di essere stata chiara.
7-1 non risponde a quanto detto (rappresenterebbe la categoria di cicli del tipo (1234567)(8) che a sua volta corrisponde alle permutazioni con 1 punto fisso e con gli altri 7 elementi che vanno ciclicamente in elementi diversi...). ce ne sono invece altre due. ripetendo anche quelle dette da te:
6+2, 5+3, 4+4, 4+2+2, 3+3+2, 2+2+2+2.
esaminiamo la prima. innanzitutto in $((8),(2))$ modi si possono scegliere i due elementi (ed i sei elementi), e poi i cicli di 6 elementi sono $(6-1)!$, perché ad esempio se si ha la stringa 123456, il numero 1 può avere 5 immagini, l'immagine di 1 ne può avere 4 e così via.
dunque, se non ho sbagliato i conti, i casi totali sarebbero $8!$,
i casi sfavorevoli $(8!)/(6!*2!)*5!*1!+(8!)/(5!*3!)*4!*2!+(8!)/(4!*4!)*3!*3!+(8!)/(4!*2!*2!)*3!*1!*1!+(8!)/(2!*2!*2!*2!)*1!*1!*1!*1!$
spero di non avere scritto sciocchezze e di essere stata chiara.
Grazie.
Vado in cameretta a fissare il tuo ragionamento. Provero' con 5 palline, dove potrei controllare il risultato a mano.
Vado in cameretta a fissare il tuo ragionamento. Provero' con 5 palline, dove potrei controllare il risultato a mano.
Se cerchi sul forum troverai gia' qualcosa a proposito.
Vedi questa tabella, sul rigo 8 ci sono le 40.320 disposizioni suddivise tra:
0(Zero) elementi in ordine: 14.833
1 Solo in ordine: 14.832
....
8 in ordine (ovviamente una combinazione)
Puoi controllare anche il rigo 4 (già risolto da Ada)
Per la formula leggi qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Cycles_and_fixed_points
Vedi questa tabella, sul rigo 8 ci sono le 40.320 disposizioni suddivise tra:
0(Zero) elementi in ordine: 14.833
1 Solo in ordine: 14.832
....
8 in ordine (ovviamente una combinazione)
Puoi controllare anche il rigo 4 (già risolto da Ada)
Per la formula leggi qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Cycles_and_fixed_points
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