Direzione della cavia

[mobley]

Visto che l'esercizio di prima era banale, provo con questo… ( )

In ogni prova, una cavia può andare a destra o a sinistra. Alla prima prova va a destra con probabilità $\frac{1}{3}$ e a sinistra con probabilità $\frac{2}{3}$. Nelle prove successiva, la probabilità di andare a destra dipende solo da quello che è accaduto nella prova precedente. In particolare:
- se alla prova $(n-1)$-esima la cavia è andata a destra, alla $n$-esima prova va a destra con probabilità $0,5$.
- se alla prova $(n-1)$-esima la cavia è andata a sinistra, alla $n$-esima prova va a destra con probabilità $0,6$
Calcola:
1) $\mathbb(P)(D_2)$.
2) $\mathbb(P)(D_n)$ per un $n$ generico.
3) $lim_(n->\infty)\mathbb(P)(D_n)$.

1) per il teorema delle partizioni $\mathbb(P)(D_2)=0,567$.
2) suppongo di dover applicare nuovamente il teorema delle partizioni lasciando come incognita le probabilità non condizionate:

$\mathbb(P)(D_n)=5/10 \mathbb(P)(D_(n-1))+6/10 \mathbb(P)(S_(n-1))=5/10 \mathbb(P)(D_(n-1))+6/10 (1-\mathbb(P)(D_(n-1)))=6/10-1/10 \mathbb(P)(D_(n-1))$

$=6/10 -1/10 (6/10 -1/10\mathbb(P)(D_(n-2)))$ fino a ricavarmi $\mathbb(P)(D_2)$ che conosco, ma non so come farlo.

3) impossibile da risolvere senza il punto 2), quindi sono bloccato.

Suggerimenti su come svolgere quella serie?

[ghira1]

In realtà sospetto che (3) sia più facile di (2).

Hai fatto le catene di Markov? Immagino di sì, dato che questa sembra una domanda sulle catene di Markov.

[Reyzet]

Scusate se mi intrometto, non so ancora niente di catene di Markov, ma a occhio non mi sembra sia necessario per il terzo punto almeno.

Quella che hai ottenuto è la successione definita per ricorrenza dalla legge:
$a_{n+1}=6/10-a_{n}/10$ e $a_{1}=1/3$, si vede per induzione che $a_{n}=p(D_{n})\in[0,1]$ quindi è coerente col suo essere una probabilità.
C'è un metodo standard per risolverle, se non ho sbagliato i conti il limite è $6/11=0,\bar{54}$