Dimostrazioni proprietà stimatori dei m.q.

[wtf88]

Sto cercando di capire le dimostrazioni relative a linearità, correttezza ed efficienza ma per ognuna di esse mi risultano dei passaggi poco chiari.
Spero che qualcuno possa aiutarmi: andrò con ordine.

LINEARITA':
Parto dal numeratore dello stimatore B, applico la proprietà distributiva:
$ sum_(i = 1)^(n) (x - bar(x))Y - sum_(i = 1)^(n)(x - bar(x))bar(Y) = sum_(i = 1)^(n) (x - bar(x))Y - bar(Y)sum_(i = 1)^(n)x + nbar(Y)bar(x) = sum_(i = 1)^(n) (x - bar(x))Y - nbar(Y)bar(x) + nbar(Y)bar(x) = sum_(i = 1)^(n) (x - bar(x))Y $
Come fa a scrivere nYx?

Di conseguenza lo stimatore B risulta:
$ B = (sum_(i = 1)^(n)(x - bar(x))Y) / (sum_(i = 1)^(n)(x - bar(x))^(2)) $
però poi dice che, tolto Y, tutta quella quantità risulta una costante. Come è possibile?

CORRETTEZZA:
$ E(B) = (sum_(i = 1)^(n)(x - bar(x))) / (sum_(i = 1)^(n)(x - bar(x))^(2))alfa + (sum_(i = 1)^(n)(x - bar(x))x) / (sum_(i = 1)^(n)(x - bar(x))^(2))beta = beta $
Non ho capito proprio come ha fatto, qui sono in alto mare.

[niandra82]

Prima domanda: non fa nient'altro che aggiungere e togliere $nY−x$, è come scrivere 5= 5+6-6....l'ha scritto perchè poi gli sarebbe servito quel termine

Seconda domanda: penso che intenda che le X sono valori dati, fissi, non variabili, mentre la Y è uan variabile aleatoria.

Terza domanda: non h capito neanche io, forse serve che spieghi il contesto in cui è inserito

[wtf88]

Anzitutto ti ringrazio per la risposta

Ho terminato la prima dimostrazione.
Per quanto riguarda la seconda domanda sicuramente la Y è una variabile aleatoria, poichè non deterministica, mentre la X abbiamo postulato essere deterministica.
Purtroppo credo mi sfugga qualcosa poichè anche se deterministica, non si sa quale x pedice i ottengo...
Comunque sicuramente sarà una quantità fissata,anche se non so come lo si possa affermare

[niandra82]

In che senso non lo sai? l'hai osservata....

Esempio pratico, vuoi determinare la relazione tra peso (y) e altezza(x)....osservi delle x, $x_1, x_2, ... x_n$ e tenti di predirre $y$ .....le $x_i$ sono osservate, deterministiche

[fure1]

Ti dò un indizio,
\(\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})=0\), mentre invece \(\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})x_i}{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}=1\). Nel secondo a numeratore dovrai fare un aggiungo/tolgo di \( \bar{x}\sum_{i=1}^n x_i\).