Dimostrazione teorema di Markov per catene regolari
salve a tutti,
vorrei chiedervi una mano per la dimostrazione del teorema di Markov il quale afferma:
una matrice di transizione $P$ su un insieme di stati finito $E$ ha un unica distribuzione stazionaria \(\pi \) e per di piu si ha, qualunque sia \(j \in E\) allora \[\lim_{n \rightarrow \infty} P^{n} = \pi \]
per quanto riguarda l esistenza della distribuzione invariante so che posso rifarmi al teorema di Markov-Kakutani.
per dimostrare l unicità e il limite non saprei dove mettere mani. l unica mezza idea che ho avuto è stata ricorrere al teorema spettrale per le matrici; quindi dimostrare prima di tutto l esistenza di un autovalore \(\lambda =1\) e far vedere che i restanti \(\lambda \) hanno in modulo valore $<1$. fatto ciò applicare il teorema sopra citato. Se avete idee migliori sarò felice di leggerle.
grazie
vorrei chiedervi una mano per la dimostrazione del teorema di Markov il quale afferma:
una matrice di transizione $P$ su un insieme di stati finito $E$ ha un unica distribuzione stazionaria \(\pi \) e per di piu si ha, qualunque sia \(j \in E\) allora \[\lim_{n \rightarrow \infty} P^{n} = \pi \]
per quanto riguarda l esistenza della distribuzione invariante so che posso rifarmi al teorema di Markov-Kakutani.
per dimostrare l unicità e il limite non saprei dove mettere mani. l unica mezza idea che ho avuto è stata ricorrere al teorema spettrale per le matrici; quindi dimostrare prima di tutto l esistenza di un autovalore \(\lambda =1\) e far vedere che i restanti \(\lambda \) hanno in modulo valore $<1$. fatto ciò applicare il teorema sopra citato. Se avete idee migliori sarò felice di leggerle.
grazie
Risposte
Un fatto: se $P$ regolare è irriducibile (non è vero il contrario). Questo implica che se una matrice è irriducibile ha al più una distr. invariante.
Detto questo per l'unicità ti basi sul fatto che da qualunque stato tu inizi, da qualunque distr. invariante inizale ($\pi_j(0)$) si converge in legge all'unica distr. invariante.
Detto questo per l'unicità ti basi sul fatto che da qualunque stato tu inizi, da qualunque distr. invariante inizale ($\pi_j(0)$) si converge in legge all'unica distr. invariante.
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