Dimostrazione su trasformata di Hilbert
Salve, avrei bisogno di una mano per dimostrare che: dato un processo aleatorio x(t) SSL, esso e la sua trasformata di Hilbert sono ortogonali.
Ho provato la strada di calcolare la funzione di correlazione mutua tra x(t) e H[x(t)], che dovrebbe essere zero, ma con scarsi risultati (oppure ho sbagliato qualcosa nei calcoli).
Mi scuso in anticipo se ho postato nella sezione sbagliata.
Ho provato la strada di calcolare la funzione di correlazione mutua tra x(t) e H[x(t)], che dovrebbe essere zero, ma con scarsi risultati (oppure ho sbagliato qualcosa nei calcoli).
Mi scuso in anticipo se ho postato nella sezione sbagliata.
Risposte
L'esercizio sembra anche carino, magari se postassi qualche tuo conto ci si potrebbe ragionare sopra.
Credo di aver trovato la soluzione al quesito, anche se mi resta qualche perplessità:
[tex]$R_{x\hat{x}}(\tau=0)=E[\int x(t)\hat{x}^{*}(t+\tau)dt]_{\tau=0}=E[\int x(t)\hat{x}^{*}(t)dt]=\int X(f)\hat{X}^{*}(f)df=\int X(f)[jX(f)sign(f)]df=\int jS_{x}(f)sign(f)=0$[/tex]
il passaggio nel dominio di Fourier è lecito per Parseval, l'ultimo passaggio è lecito dato che la densità spettrale è una funzione pari e il segno è dispari, l'integrale sarà quindi nullo. però non ho capito come far scomparire lecitamente la media statistica e soprattutto a cosa ci serviva l'ipotesi che x(t) è SSL
[tex]$R_{x\hat{x}}(\tau=0)=E[\int x(t)\hat{x}^{*}(t+\tau)dt]_{\tau=0}=E[\int x(t)\hat{x}^{*}(t)dt]=\int X(f)\hat{X}^{*}(f)df=\int X(f)[jX(f)sign(f)]df=\int jS_{x}(f)sign(f)=0$[/tex]
il passaggio nel dominio di Fourier è lecito per Parseval, l'ultimo passaggio è lecito dato che la densità spettrale è una funzione pari e il segno è dispari, l'integrale sarà quindi nullo. però non ho capito come far scomparire lecitamente la media statistica e soprattutto a cosa ci serviva l'ipotesi che x(t) è SSL
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