Dimostrazione media

[aly101]

Salve, mi servirebbe un aiuto con una dimostrazione riguardante la media e la mediana.
Devo verificare che che il valore centrale coincida con la media aritmetica se i termini della distribuzione sono tutti diversi e equispaziati.
Riesco a verificarlo solo utilizzando i numeri, potreste darmi una mano per impostarla? Grazie in anticipo

[anonymous_c5d2a1]

Considerando una serie di dati del tipo:
$x_1=a_1$
$x_2=a_1+d$
$x_3=a_1+2d$
$x_4=a_1+3d$
$x_5=a_1+4d$


$x_(n-1)=a_1+(n-2)d$
$x_n=a_1+(n-1)d$
Supponiamo che essi siano ordinati in maniera crescente e sono anche equidistanziati. Quindi il valore centrale è pari a $C=(x_1+x_n)/2=(a_1+a_1+(n-1)d)/2=(2a_1+(n-1)d)/2$.
Prova ora a fare la media aritmetica tu e vedi cosa ottieni. Buon lavoro!

[aly101]

Grazie per l'aiuto.
Ho provato con la media, ottenendo 7a+d(n-1)(n-2)/N, non dovrebbe essere uguale al valore centrale?

[anonymous_c5d2a1]

La media aritmetica solitamente indicata con $M_1$ è così calcolata $M_1=(sum_(i=1)^nx_i)/n$.
Cioè $M_1=(a_1+a_1+d+a_1+2d+a_1+3d+a_1+4d+...+a_1+(n-2)d+a_1+(n-1)d)/n$. Il termine $a_1$ è presente $n$ volte. Non $7$ come tu hai contato erroneamente. Le $x_i$ con $i=1,...,n$ sono $n$ osservazioni. Quindi diventa:
$M_1=(na_1+d[1+2+3+4+...+(n-2)+(n-1)])/n$.
La somma $1+2+3+4+...+(n-2)+(n-1)$ è una progressione aritmetica di ragione $d=1$. Cioè $S_(n-1)=((1+n-1)(n-1))/2=(n(n-1))/2$. A questo punto $M_1=(na_1+(n(n-1))/2)/n$. Prova a continuare tu e vedi cosa ottieni.