Dimostrazione disuguaglianza di Markov
Ciao a tutti!
So che probabilmente è una cosa banale, ma mi sfugge un passaggio chiave della dimostrazione della disuguaglianza di Markov.....
$X$ variabile aleatoria
$Omega$ spazio campionario
$omega$ elemento dello spazio campionario
$X: Omega \to RR$
Se $X$ è una variabile aleatoria che assume solo valori non negativi e dotata di media $mu>0$ finita, allora per ogni numero reale $c>0$ si ha che
$P{X>=cmu}<=frac{1}{c}$
Dimostrazione:
$mu = \int_{{omega | X(omega)=cmu}}^{} X(omega)dP(omega) >=$
e qui arriva il passaggio che non capisco...
$>= cmu \int_{{omega | X(omega)>=cmu}}^{} dP(omega) = cmuP(X>=cmu)$
perchè $\int_{{omega | X(omega)>=cmu}}^{} X(omega)dP(omega)$ diventa $cmu \int_{{omega | X(omega)>=cmu}}^{} dP(omega) $ ???
Grazie a tutti
So che probabilmente è una cosa banale, ma mi sfugge un passaggio chiave della dimostrazione della disuguaglianza di Markov.....
$X$ variabile aleatoria
$Omega$ spazio campionario
$omega$ elemento dello spazio campionario
$X: Omega \to RR$
Se $X$ è una variabile aleatoria che assume solo valori non negativi e dotata di media $mu>0$ finita, allora per ogni numero reale $c>0$ si ha che
$P{X>=cmu}<=frac{1}{c}$
Dimostrazione:
$mu = \int_{{omega | X(omega)
e qui arriva il passaggio che non capisco...
$>= cmu \int_{{omega | X(omega)>=cmu}}^{} dP(omega) = cmuP(X>=cmu)$
perchè $\int_{{omega | X(omega)>=cmu}}^{} X(omega)dP(omega)$ diventa $cmu \int_{{omega | X(omega)>=cmu}}^{} dP(omega) $ ???
Grazie a tutti
Risposte
non entro nel merito del teorema, ma cerco di dare un'interpretazione al passaggio...
$X(omega)>=c mu$
$X(omega)$ non è una costante, ma $c mu$ è costante e può essere portata fuori del simbolo di integrale: non è una uguaglianza, ma una disuguaglianza, nel senso che $mu$ era espressa come somma di due quantità non negative, e quindi è $mu>=\int_({omega|X(omega)>=c mu})\X(omega)dP(omega)$; se al posto di ciascuna di queste variabili sostituisce un minorante, $c mu$, ottiene un valore ancora più piccolo... spero di essere stata chiara. ciao.
$X(omega)>=c mu$
$X(omega)$ non è una costante, ma $c mu$ è costante e può essere portata fuori del simbolo di integrale: non è una uguaglianza, ma una disuguaglianza, nel senso che $mu$ era espressa come somma di due quantità non negative, e quindi è $mu>=\int_({omega|X(omega)>=c mu})\X(omega)dP(omega)$; se al posto di ciascuna di queste variabili sostituisce un minorante, $c mu$, ottiene un valore ancora più piccolo... spero di essere stata chiara. ciao.
"adaBTTLS":
non entro nel merito del teorema, ma cerco di dare un'interpretazione al passaggio...
$X(omega)>=c mu$
$X(omega)$ non è una costante, ma $c mu$ è costante e può essere portata fuori del simbolo di integrale: non è una uguaglianza, ma una disuguaglianza, nel senso che $mu$ era espressa come somma di due quantità non negative, e quindi è $mu>=\int_({omega|X(omega)>=c mu})\X(omega)dP(omega)$; se al posto di ciascuna di queste variabili sostituisce un minorante, $c mu$, ottiene un valore ancora più piccolo... spero di essere stata chiara. ciao.
Ti ringrazio per la risposta.
Il concetto della disuguaglianza mi è chiaro, se $mu= A + B$ è logico che $mu>=B$ e fin qui ci sono, ma non capisco come fa a maggiorare quel secondo integrale. Perchè $X(omega)$ è sparito? A cosa sarebbe uguale $\int_({omega|X(omega)>=c mu})\X(omega)dP(omega)$ ?
Mi sa che ho le idee un tantino confuse...
$X(omega)$ non è sparito, ma questo integrale è fatto solo sulle variabili per cui (leggi sotto il simbolo di integrale) $X(omega)>=cmu$ quindi l'integrale con $X(omega)$ è maggiore o uguale all'integrale con $cmu$ al posto di $X(omega)$. quindi c'è $cmu$ al posto di $X(omega)$, solo che, siccome $cmu$ è costante, si porta fuori del simbolo di integrale. OK? ciao.
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