Dimostrazione con processo di Poisson
Ciao, posto il seguente esercizi di processi stocastici preso dal Beichelt, spero di averlo risolto ma gradirei un check 
Sol.:
Conviene ricordare che per un processo di Poisson ${N(t)}$ vale che gli incrementi sono omogenei e indipendenti.
Per dimostrare l'asserto avevo pensato di dover sfruttare la relazione chiave che vale nei processi di Poisson:
Così facendo si ha: $\mathbb{P}(T_N - T_{N-1} \leq t)= \mathbb{P}(N(t) \geq 1)$.
Ora, ricordando che per un processo di Poisson vale che la distribuzione degli incrementi $N(s,t)$ segue, appunto, una Poisson di parametro $\lambda (t-s)$, si ha che (per $s=0$ e dunque $N(s,t)=N(t)$)
Si osserva che la funzione di ripartizione $F_t(X_N)= \mathbb{P}(X _N \leq t)=\mathbb{P}(T_N - T_{N-1} \leq t)= \mathbb{P}(N(t) \geq 1) =_\underbrace{\text{vedi sopra}} 1-e^{-\lambda t }$, il che conferma che la distribuzione delle $X_n$ è un'esponenziale di parametro $\lambda$.
L'indipendenza segue dal fatto che per un processo di Poisson gli incrementi sono indipenenti, anche se non saprei come mostrarlo formalmente, e qui gradierei un parere
Sia dato un processo di Poisson ${N(t)}$ con intensità $\lambda \in RR^+, \lambda < +\infty$.
Si consideri la successione di tempi ${T_n}_{n \in NN}$, così definita:
$T_0=0, T_n= \text{inf} {t: N(t)=n} \quad \text{per ogni n} \in NN^{+}$
Sia $X_n := T_n - T_{n-1}$, per ogni $n \in NN^{+}$.
Si può dunque intepretare $T_n$ come il tempo dell'n-esimo arrivo, mentre $X_n$ indica l'intertempo tra due arrivi consecutivi.
Mostrare che le v.a. $X_1, X_2,\ldots$ sono i.i.d., con una distribuzione esponenziale di parametro $\lambda$
Sol.:
Conviene ricordare che per un processo di Poisson ${N(t)}$ vale che gli incrementi sono omogenei e indipendenti.
Per dimostrare l'asserto avevo pensato di dover sfruttare la relazione chiave che vale nei processi di Poisson:
$T_N \leq t \text{ se e solo se } N(t) \geq N$
Così facendo si ha: $\mathbb{P}(T_N - T_{N-1} \leq t)= \mathbb{P}(N(t) \geq 1)$.
Ora, ricordando che per un processo di Poisson vale che la distribuzione degli incrementi $N(s,t)$ segue, appunto, una Poisson di parametro $\lambda (t-s)$, si ha che (per $s=0$ e dunque $N(s,t)=N(t)$)
$\mathbb{P}(N(t)\geq1)= e^{-\lambda t} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(\lambda t)^k}{k!} = e^{-\lambda t} ( e^{\lambda t} -1) = 1 - e^{-\lambda t}$
Si osserva che la funzione di ripartizione $F_t(X_N)= \mathbb{P}(X _N \leq t)=\mathbb{P}(T_N - T_{N-1} \leq t)= \mathbb{P}(N(t) \geq 1) =_\underbrace{\text{vedi sopra}} 1-e^{-\lambda t }$, il che conferma che la distribuzione delle $X_n$ è un'esponenziale di parametro $\lambda$.
L'indipendenza segue dal fatto che per un processo di Poisson gli incrementi sono indipenenti, anche se non saprei come mostrarlo formalmente, e qui gradierei un parere
Risposte
Ciao caro Feddy...ci ho dovuto pensare un po'....
Dunque, secondo me hai già fatto abbastanza; tu infatti hai dimostrato che $T_n-T_(n-1)$ si distribuisce come un'esponenziale....dato che ciò vale per ogni $n$ vuol dire che qualunque intertempo si distribuisce con la seguente funzione di distribuzione $F=1-e^(-lambdat)$, quindi tutte uguali ed indipendenti da $n$....quindi iid.
Così invece la dimostrazione è più completa:
Definiamo come $tau_n=t_n-t_(n-1)$; $t_0=0$ il tempo di interarrivo n-esimo. Per $a>=0$ abbiamo che
$F_(t_n)(a)=P[t_n<=a]=P[N(0,a]>=n]=1-P[N(0,a]
La distribuzione trovata è una ERLANG che, come puoi vedere, è la somma di n variabili esponenziali indipendenti (è un caso particolare della distribuzione Gamma).
Con tale distribuzione è immediato dimostrare tutto ciò che ti serve, infatti:
1) in particolare, con $t_n=t_1=tau_1$ ottieni subito $F=1-e^(-lambdaa)$, ovvero la tua esponenziale negativa.
2) per provare l'indipendenza basta calcolare la CDF condizionata
$F_(tau_2|tau_1)(a|b)=lim_(h rarr 0^+)P[tau_2<=a|b-h=1]=1-e^(-lambdaa)$
il che dimostra che $tau_2$ ha la stessa distribuzione esponenziale, ed è indipendente da $tau_1$
NOTA: Il fatto che esso abbia la stessa distribuzione di un qualsisi altro tempo di interarrivo deriva dalla proprietà di "assenza di memoria" di cui gode l'esponenziale negativa.
Dunque, secondo me hai già fatto abbastanza; tu infatti hai dimostrato che $T_n-T_(n-1)$ si distribuisce come un'esponenziale....dato che ciò vale per ogni $n$ vuol dire che qualunque intertempo si distribuisce con la seguente funzione di distribuzione $F=1-e^(-lambdat)$, quindi tutte uguali ed indipendenti da $n$....quindi iid.
Così invece la dimostrazione è più completa:
Definiamo come $tau_n=t_n-t_(n-1)$; $t_0=0$ il tempo di interarrivo n-esimo. Per $a>=0$ abbiamo che
$F_(t_n)(a)=P[t_n<=a]=P[N(0,a]>=n]=1-P[N(0,a]
La distribuzione trovata è una ERLANG che, come puoi vedere, è la somma di n variabili esponenziali indipendenti (è un caso particolare della distribuzione Gamma).
Con tale distribuzione è immediato dimostrare tutto ciò che ti serve, infatti:
1) in particolare, con $t_n=t_1=tau_1$ ottieni subito $F=1-e^(-lambdaa)$, ovvero la tua esponenziale negativa.
2) per provare l'indipendenza basta calcolare la CDF condizionata
$F_(tau_2|tau_1)(a|b)=lim_(h rarr 0^+)P[tau_2<=a|b-h
il che dimostra che $tau_2$ ha la stessa distribuzione esponenziale, ed è indipendente da $tau_1$
NOTA: Il fatto che esso abbia la stessa distribuzione di un qualsisi altro tempo di interarrivo deriva dalla proprietà di "assenza di memoria" di cui gode l'esponenziale negativa.
ciao tommik, come al solito grazie per l'ottima risposta 
La tua dimostrazione mi è chiara.
Entrambi cerchiamo l'espressione della CFD, solo che i nostri 'passaggi chiave' sono diversi:
io parto da
mentre tu
La mia perplessità è a sto punto il mio passo iniziale: è effettivamente corretto?
La mia interpretazione è stata che "se il tempo di interarrivo dal n-1-esimo all'n-esimo (cioè quindi di un solo evento) è minore di t, allora il numero di eventi in $t$ è maggiore o uguale a 1"
La tua dimostrazione mi è chiara.Entrambi cerchiamo l'espressione della CFD, solo che i nostri 'passaggi chiave' sono diversi:
io parto da
$\mathbb{P}(T_N - T_{N-1} \leq t)= \mathbb{P}(N(t) \geq 1)$
mentre tu
$F_(t_n)(a)=P[t_n<=a]=P[N(0,a]>=n$
La mia perplessità è a sto punto il mio passo iniziale: è effettivamente corretto?
La mia interpretazione è stata che "se il tempo di interarrivo dal n-1-esimo all'n-esimo (cioè quindi di un solo evento) è minore di t, allora il numero di eventi in $t$ è maggiore o uguale a 1"
a me sembra proprio la stessa cosa, solo che il mio caso è più generale. Una volta calcolata la distribuzione di $n$ interarrivi e constatato che è una Gamma hai finito.....l'indipendenza la puoi dimostrare in ogni modo, anche utlizzando la Funzione Generatrice dei momenti.
Well
Sono pervenuto ad un'altra possibile strategia, dove sfrutto soltanto le proprietà del processo di Poisson:[nota]se il primo evento giunge dopo $t$, allora il numero di eventi al tempo $t$ è nullo[/nota]
$P(X_1 > t)= P(N(t)=0)=e^{-\lambda t}$, da cui segue che $F_t(X_1)=1-e^{-\lambda t}$ e quindi $X_1 - Exp(lambda)$.
Inoltre $P(X_2>t | X_1=t_1)=P(\{ \text {nessun arrivo tra (t_1,t_1+t] }\})=e^{-lambda t}$, dunque $X_1 $ e $X_2$ sono i.i.d
$P(X_{n+1}>t| X_i=t_i, i = 1, \ldots n)=P(\{ \text {nessun evento tra (T,T+t] } \})=e^{-\lambda t}$, con $T= \sum_{i=1}^{n} t_i$
Sono pervenuto ad un'altra possibile strategia, dove sfrutto soltanto le proprietà del processo di Poisson:[nota]se il primo evento giunge dopo $t$, allora il numero di eventi al tempo $t$ è nullo[/nota]
$P(X_1 > t)= P(N(t)=0)=e^{-\lambda t}$, da cui segue che $F_t(X_1)=1-e^{-\lambda t}$ e quindi $X_1 - Exp(lambda)$.
Inoltre $P(X_2>t | X_1=t_1)=P(\{ \text {nessun arrivo tra (t_1,t_1+t] }\})=e^{-lambda t}$, dunque $X_1 $ e $X_2$ sono i.i.d
$P(X_{n+1}>t| X_i=t_i, i = 1, \ldots n)=P(\{ \text {nessun evento tra (T,T+t] } \})=e^{-\lambda t}$, con $T= \sum_{i=1}^{n} t_i$
Vedo
Grazie come al solito per la tua disponibilità !
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