Dimostra che $pu^2+(1-p)d^2-[pu+(1-p)d]^2=\sigma^2dt$

[mobley]

Devo dimostrare che $Var[X]=\mathbb(E)[X^2]-\mathbb(E)[X]^2=\sigma^2dt$ con $\mathbb(E)[X]:=pu+(1-p)d$ e con:

- $p:=(e^(rdt)-d)(u-d)$;

- $u:=e^(\sigma \sqrt(dt))$

- $d:=e^(-\sigma \sqrt(dt))$.

Per chiarezza, devo dimostrare che è vera la relazione (18.3) del link https://books.google.it/books?id=njXiBAAAQBAJ&pg=PA387&dq=options+futures+and+other+derivatives+variable+a+is+sometimes+called+growth+factors&hl=it&sa=X&ved=2ahUKEwiI-Y60scjsAhUkREEAHdExAVIQ6AEwAHoECAQQAg#v=onepage&q=options%20futures%20and%20other%20derivatives%20variable%20a%20is%20sometimes%20called%20growth%20factors&f=false date le condizioni da (18.4) a (18.7).

Sono arrivato a dimostrare che $Var[X]=e^(r \sigma dt \sqrt(dt))+e^(-r \sigma dt \sqrt(dt))-1-e^(2rdt)$ ma qui sono bloccato. Come vado avanti?

[cooper1]

Per comodità scrivo ciò che hai trovato anche tu in una forma più carina:
\[
e^{r dt}( \frac{u^2+1}{u})-1-e^{2r dt} = e^{r dt - \sigma \sqrt{dt}}+e^{r dt - \sigma \sqrt{dt}+\sigma \sqrt{dt}}-1-e^{2r dt}
\]
ora quello che devi tenere presente per andare avanti è che quella è una formula approssimata per $dt \to 0$. Sotto questa condizione possiamo sviluppare l'esponenziale ad ordini superiori e quindi possiamo continuare così:
\[
1+r dt -\sigma \sqrt{dt}+\frac{1}{2}(r dt - \sigma \sqrt{dt})^2+1+r dt +\sigma \sqrt{dt} +\frac{1}{2}(r dt + \sigma \sqrt{dt})^2 - 1-(1+2r dt +\frac{r^2}{2}dt^2) +o(dt^{3/2})
\]
ora sei capace di concludere?

[mobley]

"cooper":Per comodità scrivo ciò che hai trovato anche tu in una forma più carina:
\[
e^{r dt}( \frac{u^2+1}{u})-1-e^{2r dt} = e^{r dt - \sigma \sqrt{dt}}+e^{r dt - \sigma \sqrt{dt}+\sigma \sqrt{dt}}-1-e^{2r dt}
\]
ora quello che devi tenere presente per andare avanti è che quella è una formula approssimata per $dt \to 0$. Sotto questa condizione possiamo sviluppare l'esponenziale ad ordini superiori e quindi possiamo continuare così:
\[
1+r dt -\sigma \sqrt{dt}+\frac{1}{2}(r dt - \sigma \sqrt{dt})^2+1+r dt +\sigma \sqrt{dt} +\frac{1}{2}(r dt + \sigma \sqrt{dt})^2 - 1-(1+2r dt +\frac{r^2}{2}dt^2) +o(dt^{3/2})
\]
ora sei capace di concludere?

Anzitutto grazie per la risposta cooper

quindi quello che hai fatto è limitare l'esponenziale al secondo grado?

perchè se così fosse arrivo a
$(1+rdt+...)(2+\sigma^2dt+...)-1-(1+2rdt+...)=2+\sigma^2dt+2rdt+\sigma^2rdt^2-2-2rdt$.
e quindi non considerando $\sigma^2rdt^2$ ottengo $\sigma^2dt$.

giusto?

[cooper1]

Corretto la decisione di fermarsi al secondo ordine è dettata dal fatto che aumentando l'approssimazione ottengo tutti termini trascurabili rispetto a $dt$