Difficoltà esercizio variabile aleatoria esponenziale
Salve a tutti, volevo proporvi un esercizio relativamente semplice di probabilità, che purtroppo non riesco a risolvere essendo alle prime armi 
"Il tempo X misurato in secondi che intercorre tra le richieste a un server web ha distribuzione esponenziale con parametro 2. Determinare la previsione e la deviazione standard di X. Calcolare poi la funzione di ripartizione e la funzione di densità della trasformata $ Y=1/X $ "
Supposto che la previsione sia il valore atteso e la deviazione standard sia la varianza, sappiamo che la distribuzione in questione ha densità $ 2e^(-2x) $ per x maggiore di zero, e zero altrimenti. Dalla teoria sappiamo che, mediante alcuni integrali, il valore atteso di una esponenziale è l'inverso del parametro (in questo caso, 1/2) e la varianza è il quadrato del valore atteso (in questo caso, 1/4). Tuttavia, le soluzioni dicono che il v.a. è 1/2 ma la varianza è 1/2.
Secondo punto, come faccio a passare da X alla sua trasformata? Mediante la funzione di ripartizione o mediante la sua densità? Non so cosa devo imporre!
Le soluzioni sono $ e^(-2/y) $ per la funzione di ripartizione e $ 2/y^2(e^(-2/y)) $ per la densità.
Un aiutino? Grazie mille
"Il tempo X misurato in secondi che intercorre tra le richieste a un server web ha distribuzione esponenziale con parametro 2. Determinare la previsione e la deviazione standard di X. Calcolare poi la funzione di ripartizione e la funzione di densità della trasformata $ Y=1/X $ "
Supposto che la previsione sia il valore atteso e la deviazione standard sia la varianza, sappiamo che la distribuzione in questione ha densità $ 2e^(-2x) $ per x maggiore di zero, e zero altrimenti. Dalla teoria sappiamo che, mediante alcuni integrali, il valore atteso di una esponenziale è l'inverso del parametro (in questo caso, 1/2) e la varianza è il quadrato del valore atteso (in questo caso, 1/4). Tuttavia, le soluzioni dicono che il v.a. è 1/2 ma la varianza è 1/2.
Secondo punto, come faccio a passare da X alla sua trasformata? Mediante la funzione di ripartizione o mediante la sua densità? Non so cosa devo imporre!
Le soluzioni sono $ e^(-2/y) $ per la funzione di ripartizione e $ 2/y^2(e^(-2/y)) $ per la densità.
Un aiutino? Grazie mille
Risposte
dunque premesso che il tuo ragionamento va più o meno bene....
la media (o valore atteso) correttamente è $1/2$, facilmente calcolabile così:
$E[X]=int_(0)^(+oo)2xe^(-2x)dx=1/2int_(0)^(+oo)2xe^(-2x)d(2x)=1/2*Gamma(2)=1/2$
la varianza è altrettanto correttamente $1/4$, facilmente calcolabile così[nota]come saprai, utilizzando i risultati noti della Gamma di Eulero questi integrali si risolvono senza fare tutti i conti[/nota]:
$V[X]=E[X^2]-E^2[X]=int_(0)^(+oo)x^2 2e^(-2x)dx-(1/2)^2=1/4int_(0)^(+oo)(2x)^2e^(-2x)d(2x)-1/4=(Gamma(3))/4-1/4=1/4$
Il libro dice deviazione std $=1/2$ : la deviazione standard è la radice della varianza.
Per il calcolo della trasformata hai diverse alternative:
ALTERNATIVA 1)
vedere l'esponenziale come una particolare distribuzione Gamma e quindi sai già qual è la distribuzione della trasformata $1/x rarr$ è una gamma inversa
ALTERNATIVA 2)
applicare le tecniche di trasformazione di variabile secondo cui
$f_Y(y)=f_X [g^(-1)(y)]|d/(dy) g^(-1)(y)|$
da cui subito trovi
$f_X(x)=2e^(-2x)$
$g(X)=y=1/x$
$g^(-1)=x=1/y$
$d/(dy) g^(-1)=1/y^2$ (in valore assoluto)
e quindi
$f_Y (y)=2e^(-2/y)*1/y^2$
per la funzione di ripartizione calcoli la funzione integrale di f, ovvero ti basta fare $F=int_(0)^(y)f(t)dt$
ALTERNATIVA 3)
Calcolare la funzione di ripartizione della variabile trasformata tramite la definizione, ricordando che
$F_X(x)=P{X<=x}=1-e^(-2x)$ e quindi che $P{X>x}=e^(-2x)$.
A questo punto con la definizione di Funzione di ripartizione trovi
$F_Y(y)=P{Y<=y}=P{1/X <=y}=P{X>1/y}=e^(-2/y)$
che derivata dà la densità
[ot]forse ho esagerato un po' con l'aiutino....ma vedrai che non è sempre così
[/ot]
la media (o valore atteso) correttamente è $1/2$, facilmente calcolabile così:
$E[X]=int_(0)^(+oo)2xe^(-2x)dx=1/2int_(0)^(+oo)2xe^(-2x)d(2x)=1/2*Gamma(2)=1/2$
la varianza è altrettanto correttamente $1/4$, facilmente calcolabile così[nota]come saprai, utilizzando i risultati noti della Gamma di Eulero questi integrali si risolvono senza fare tutti i conti[/nota]:
$V[X]=E[X^2]-E^2[X]=int_(0)^(+oo)x^2 2e^(-2x)dx-(1/2)^2=1/4int_(0)^(+oo)(2x)^2e^(-2x)d(2x)-1/4=(Gamma(3))/4-1/4=1/4$
Il libro dice deviazione std $=1/2$ : la deviazione standard è la radice della varianza.
Per il calcolo della trasformata hai diverse alternative:
ALTERNATIVA 1)
vedere l'esponenziale come una particolare distribuzione Gamma e quindi sai già qual è la distribuzione della trasformata $1/x rarr$ è una gamma inversa
ALTERNATIVA 2)
applicare le tecniche di trasformazione di variabile secondo cui
$f_Y(y)=f_X [g^(-1)(y)]|d/(dy) g^(-1)(y)|$
da cui subito trovi
$f_X(x)=2e^(-2x)$
$g(X)=y=1/x$
$g^(-1)=x=1/y$
$d/(dy) g^(-1)=1/y^2$ (in valore assoluto)
e quindi
$f_Y (y)=2e^(-2/y)*1/y^2$
per la funzione di ripartizione calcoli la funzione integrale di f, ovvero ti basta fare $F=int_(0)^(y)f(t)dt$
ALTERNATIVA 3)
Calcolare la funzione di ripartizione della variabile trasformata tramite la definizione, ricordando che
$F_X(x)=P{X<=x}=1-e^(-2x)$ e quindi che $P{X>x}=e^(-2x)$.
A questo punto con la definizione di Funzione di ripartizione trovi
$F_Y(y)=P{Y<=y}=P{1/X <=y}=P{X>1/y}=e^(-2/y)$
che derivata dà la densità
[ot]forse ho esagerato un po' con l'aiutino....ma vedrai che non è sempre così
[/ot]
Innanzitutto ti ringrazio per la spiegazione sul primo punto 
Per quanto riguarda il secondo punto, purtroppo non ho mai visto la tecnica di trasformazione di variabile prima d'ora, è una formula che si può applicare sempre oppure a è collegata al fatto che Y sia proprio 1/X?
Il mio ragionamento è stato molto simile alla tua alternativa 3, ho fatto un errore nel calcolo della funzione di ripartizione dell'esponenziale... Ho solo un dubbio: perché passi da $ 1/X<=y $ a $ X>1/y $ ? Perché si perde l'uguale?
Visto che ci sono, ne approfitto per chiedere un aiuto in questo esercizio sulla variabile aleatoria normale:
"Una macchina produce dei pezzi il cui peso è distribuito normalmente con valore medio m=18 grammi e deviazione standard uguale a 1 grammo. Sapendo che devono essere scartati i pezzi di peso superiore a 20,5 grammi e inferiore a 15,5 grammi, determina la probabilità di scartare un pezzo."
La Variabile aleatoria è normale con media 18 e variazione 1: $ N^(18,1)(x) $
Dobbiamo standardizzarla, rendendola così uguale a $ N^(0,1)((x-18)/1) $
La probabilità di scartare un pezzo è uguale a 1- P(a
Tuttavia non so come andare avanti! La soluzione della prof è p= $ 2[1-P(X<=2.5)] $
Grazie per l'aiuto
Per quanto riguarda il secondo punto, purtroppo non ho mai visto la tecnica di trasformazione di variabile prima d'ora, è una formula che si può applicare sempre oppure a è collegata al fatto che Y sia proprio 1/X?
Il mio ragionamento è stato molto simile alla tua alternativa 3, ho fatto un errore nel calcolo della funzione di ripartizione dell'esponenziale... Ho solo un dubbio: perché passi da $ 1/X<=y $ a $ X>1/y $ ? Perché si perde l'uguale?
Visto che ci sono, ne approfitto per chiedere un aiuto in questo esercizio sulla variabile aleatoria normale:
"Una macchina produce dei pezzi il cui peso è distribuito normalmente con valore medio m=18 grammi e deviazione standard uguale a 1 grammo. Sapendo che devono essere scartati i pezzi di peso superiore a 20,5 grammi e inferiore a 15,5 grammi, determina la probabilità di scartare un pezzo."
La Variabile aleatoria è normale con media 18 e variazione 1: $ N^(18,1)(x) $
Dobbiamo standardizzarla, rendendola così uguale a $ N^(0,1)((x-18)/1) $
La probabilità di scartare un pezzo è uguale a 1- P(a
Tuttavia non so come andare avanti! La soluzione della prof è p= $ 2[1-P(X<=2.5)] $
Grazie per l'aiuto
"C.Falcon":
Perché si perde l'uguale?
Il fatto che "si perde" è puramente una finezza formale e deriva dal fatto che ho calcolato la funzione di sopravvivenza come il complementare della Funzione di Ripartizione:
$P(X>x)=1-P(X<=x)$
Ma in realtà non cambia assolutamente nulla; puoi utlizzare la disuguaglianza debole oppure forte a tuo piacimento dato che, essendo distribuzioni continue, hanno misura nulla in un punto e quindi $P(X=x)=0 AAx$
La formula di trasformazione che ti ho proposto è valida per qualunque trasformazione monotòna. Se la trasformazione non è monotòna occorre modificarla leggermente....se non l'avete fatta poco male, io l'ho fatta e non la uso mai....utilizzo sempre l'alternativa 3) perché è più intelligente (IMHO)
Ora vediamo l'altro esercizio....ma per favore dalla prossima volta ricorda: un esercizio un topic, altrimenti qui esce un macello e non si capisce più nulla
La probabilità di scartare un pezzo è[nota]come vedi stavolta ho usato tutte le disuguaglianze forti, tanto per la continuità della distribuzione nulla cambia[/nota]
$P{X>20.5}+P{X<15.5}=P{Z>(20.5-18)}+P{Z<(15.5-18)}=P{Z>2.5}+P{Z<-2.5}=2Phi(-2.5)=2*0.0062~~1.24%$
per il fatto che la Gaussiana è simmetrica; tale risultato coincide con la soluzione della tua prof essendo, sempre per le proprietà di simmetria della Gaussiana:
$2Phi(-2.5)=2[1-Phi(2.5)]$
Ok perfetto, grazie mille e scusa per l'inconveniente 
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